함수열의 점별수렴
정의
$\mathbb{R}$ 의 부분집합 $E \ne \emptyset$ 에 대해 함수 $f : E \to \mathbb{R}$ 를 정의하자. 함수열 $\left\{ f_{n} : E \to \mathbb{R} \right\}_{n=1}^{\infty}$ 이 각각의 $x \in E$ 에 대해 $f(x) = \lim \limits_{n \to \infty} f_{n} (X)$ 을 만족하면 $E$ 에서 $f_{n}$ 이 $f$ 로 점별수렴pointwise convergence한다고 하고 다음과 같이 표기한다.
$$ f_{n} \to f $$
설명
위 정의를 입실론-델타 논법으로 다시 써보면 다음과 필요충분조건이다.
수열은 단지 ‘정의역이 $\mathbb{N}$ 인 함수’에 불과했으므로, 그 공역이 함수의 집합이어도 하등 상관 없으며 함수열 $\left\{ f_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 과 같이 끔찍한 녀석을 떠올릴 수 있다. 함수열의 개념이 등장했는데 아직도 수열의 개념을 대충 ‘수직선 상에서 $n$ 이 커짐에 따라 움직이는 점’ 따위로 생각하고 있다면 받아들이기 어려울 것이다.
한편 새로운 수열이 나타남에 따라 새로운 수렴에 대한 이야기도 하지 않을 수 없다. 물론 점마다 수렴한다는 개념은 사실 그다지 어려워보이지 않는데, $E$ 에서 한 점 이상의 예외를 두고 수렴한다면 그건 $E$ 에서의 수렴이라고 부를 수 없을 것이기 때문이다. 그런데 이렇게 상식적인 ‘수렴’을 굳이 ‘점별수렴’이라고 부르는 이유가 뭘까?
그 이유는 당연하게도 점별수렴하는 것이 함수 그 자체의 수렴을 논하는데에는 아직 부족함이 있기 때문이다. 사실 점별수렴은 이보다 더 좋은 수렴과 대비해서 ‘충분히 좋지 못한 수렴’ 을 말하기 위해서 있는 단어라고 보아도 무방하다. 까놓고 말해서, $f_{n} (x)$ 이라는 것도 구체적인 $x_{0}$ 를 하나 픽스해주면 $a_{n} := f_{n} (x_{0} )$ 와 같이 나타나므로 구태여 함수열이라는 개념을 생각할 필요도 없다.
다음은 $E$ 에서 $f_{n}$ 이 $f$ 로 점별수렴한다고 했을 때 원래 $f_{n}$ 의 성질을 유지하지 못하는 예시들이다.
정리
$E$ 에서 $f_{n}$ 이 $f$ 로 점마다 수렴한다고 하자.
(a) $f_{n}$ 이 미분가능하다고 해도, $f$ 가 미분가능한 것은 아니다.
(b) $f_{n}$ 이 적분가능하다고 해도, $f$ 가 적분가능한 것은 아니다.
(c) $f_{n}, f$ 가 미분가능하다고 해도, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{d}{dx} f_{n} (x) = \dfrac{d}{dx} \left( \lim \limits_{n \to \infty} f_{n} (x) \right)$ 이 성립하지는 않는다.
(d) $f_{n}, f$ 가 적분가능하다고 해도, $\displaystyle \lim \limits_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_{n} (x) dx = \int_{a}^{b} \left( \lim \limits_{n \to \infty} f_{n} (x) \right) dx$ 이 성립하지는 않는다.
특히 **(a)**는 연속성 또한 보존되지 않음을 보여주는 예시기도 하다.
증명
반증(a)
$E = [0,1]$ 에서 다음과 같이 $f_{n} , f$ 를 정의하자.
$$ \begin{align*} f_{n} (x) &:= x^{n} \\ f(x) &:= \begin{cases} 0 &, 0 \le x < 1 \\ 1 &, x=1 \end{cases} \end{align*} $$
자명하게도 $E$ 에서 점마다 $f_{n} \to f$ 다. 한편 $f_{n}$ 은 $[0,1]$ 에서 미분가능한데, $f$ 는 $x=1$ 에서 연속이 아니므로 미분가능하지 않다.
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반증(b)
$E = [0,1]$ 에서 다음과 같이 $f_{n} , f$ 를 정의하자.
$$ \begin{align*} f_{n} (x) &:= \begin{cases} 1 &, x = {{ p } \over { m }} , p \in \mathbb{Z} , m \in \left\{ 1 , \cdots , n \right\} \\ 0 &, \text{otherwise} \end{cases} \\ f(x) &:= \begin{cases} 1 &, x \in \mathbb{Q} \\ 0 &, \text{otherwise} \end{cases} \end{align*} $$
$f_{n}$ 의 세팅이 조금 복잡한데, $f_{1} (x)$ 는 $ x \in \left\{ 0 , 1 \right\}$ 에서만 $1$ 이고, $f_{2} (x)$ 는 $\displaystyle x \in \left\{ 0 , {{ 1 } \over { 2 }} , 1 \right\}$ 에서만 $1$ 이고, $f_{3} (x)$ 는 $x \in \left\{ 0 , {{ 1 } \over { 3 }} , {{ 1 } \over { 2 }} , {{ 2 } \over { 3 }} , 1 \right\}$ 에서만 $1$ 이다. 이런 방식으로 $n$ 을 키워나가다보면 결국 모든 $x \in \mathbb{Q}$ 에서만 $1$ 이 될 것이고, 따라서 $E$ 에서 점마다 $f_{n} \to f$ 임을 알 수 있다. 한편 $f_{n}$ 은 $[0,1]$ 에서 적분가능한데, 디리클레 함수 $f$ 는 적분가능하지 않다.
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반증(c)
$E = [0,1]$ 에서 다음과 같이 $f_{n} , f$ 를 정의하자.
$$ \begin{align*} f_{n} (x) &:= {{ x^{n} } \over { n }} \\ f(x) &:= 0 \end{align*} $$
자명하게도 $E$ 에서 점마다 $f_{n} \to f$ 고 각각의 도함수는
$$ \begin{align*} f’_{n} (x) =& x^{n-1} \\ f '(x) =& 0 \end{align*} $$
과 같이 구해진다. 그러나 $x=1$ 에서
$$ 1 = \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{d}{dx} f_{n} (1) \ne \dfrac{d}{dx} \left( \lim \limits_{n \to \infty} f_{n} (1) \right) = 0 $$
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반증(d)
$E = [0,1]$ 에서 다음과 같이 $f_{n} , f$ 를 정의하자.
$$ \begin{align*} f_{1} (x) &:= 1 \\ f_{n} (x) &:= \begin{cases} n^2 x &, 0 \le x < {{ 1 } \over { n }} \\ 2n - n^2 x &, {{ 1 } \over { n }} \le x < {{ 2 } \over { n }} \\ 0 &, {{ 2 } \over { n }} \le x \le 1 \end{cases} \\ f(x) &:= 0 \end{align*} $$
$f_{n}$ 은 복잡해보이지만 위 그림을 보면 아주 단순하며, $E$ 에서 점마다 $f_{n} \to f$ 임을 알 수 있다. 이 때 $\displaystyle \int_{0}^{1} f_{n} (x) dx$ 는 삼각형 내부의 넓이와 같은데 높이가 $n$, 밑변의 길이가 ${{ 2 } \over { n }}$ 이므로 $n$ 이 무엇이든 항상 $1$ 이다. 그러나
$$ \int_{0}^{1} f(x) dx = \int_{0}^{1} 0 dx = 0 $$
이므로
$$ 1 = \lim \limits_{n \to \infty} \int_{0}^{1} f_{n} (x) dx \ne \int_{0}^{1} \left( \lim \limits_{n \to \infty} f_{n} (x) \right) dx = 0 $$
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