폐구간에서 적분할 수 없는 함수: 디리클레 함수
정의
다음과 같이 정의되는 $f$를 디리클레 함수라고 한다.
$$ f(x) := \begin{cases} 1 &, x \in \mathbb{Q} \\ 0 &, x \notin \mathbb{Q} \end{cases} $$
설명
디리클레 함수는 리만적분을 할 수 없는 대표적인 함수로, 아마 해석학 이상의 공부를 하지 않는다면 평생 상상도 해볼 일 없는 변태적인 예시다. 콕 찝어서 리만적분 할 수 없다고 말하는 이유는 리만적분이 아니면 적분가능할 수도 있기 때문이다.
정리
디리클레 함수는 $[0,1]$ 에서 적분할 수 없다.
증명
실수의 조밀성에 따라 분할 $P$ 를 어떻게 잡든 리만상합은 $U ( f , P ) = 1$ 이고 리만하합은 $L (f, P) = 0$ 이다. 따라서 적분가능하지 않다.
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