📂해석개론

오일러 상수 e는 무리수다

정리

$$ e \notin \mathbb{Q} $$

$\mathbb{Q}$ 는 유리수의 집합을 나타낸다.

증명

매클로린 전개를 이용¹

전략: 매클로린 전개를 통해 $e^{-1}$ 를 두 파트로 찢고 모순을 이끌어낸다. 매클로린 전개를 사용해야하기 때문에 고등학교 교과과정 내에서는 증명할 수 없다.

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$\mathbb{N}$ 는 자연수의 집합, $\mathbb{Z}$ 는 정수의 집합을 나타낸다.

• Part 1. $x_{1} = x_{2}$

  $e \in \mathbb{Q}$ 이라고 가정하면 오일러 상수 $e$ 는 어떤 $a,b \in \mathbb{N}$ 에 대해 $e = {{ a } \over {b}}$ 와 같이 나타날 수 있어야한다. 지수함수의 매클로린 전개에 의해

  $$ e^{-1} = {{ b } \over { a }} = \sum_{k=0}^{\infty} {{ (-1)^{k} } \over { k! }} $$

  각변에 $(-1)^{a+1} a!$ 를 곱하고 위치를 서로 바꾸면

  $$ \sum_{k=0}^{\infty} {{ (-1)^{k + a + 1} a! } \over { k! }} = b (-1)^{a+1} ( a - 1 )! $$

  좌변의 시그마가 $k=a+1$ 부터 시작한다면 우변에선 $\sum_{k=1}^{a} {{ (-1)^{k + a + 1} a! } \over { k! }}$ 이 빠지므로 $$ \sum_{k=a+1}^{\infty} {{ (-1)^{k + a + 1} a! } \over { k! }} = b (-1)^{a+1} ( a - 1 )! - \sum_{k=1}^{a} {{ (-1)^{k + a + 1} a! } \over { k! }} $$ 이제 좌변을 $x_{1}$, 우변을 $x_{2}$ 라고 두면 당연히 $x_{1} = x_{2}$ 일 것이다. $$ x_{1} := \sum_{k=a+1}^{\infty} {{ (-1)^{k + a + 1} a! } \over { k! }} $$

  $$ x_{2} := b (-1)^{a+1} ( a - 1 )! - \sum_{k=1}^{a} {{ (-1)^{k + a + 1} a! } \over { k! }} $$

• Part 2. $x_{1} \in (0,1)$

  $x_{1}$ 을 직접 전개해보면

  $$ x_{1} = {{ 1 } \over { a+1 }} - {{ 1 } \over { (a+1)(a+2) }} + {{ 1 } \over { (a+1)(a+2)(a+3) }} - \cdots $$ $k$ 가 커질수록 $\left| (-1)^{k+a+1} {{ a! } \over { k! }} \right|$ 는 점점 작아지므로 $x_{1}$ 은 ${{ 1 } \over { a+1 }}$ 보다 크고 ${{ 1 } \over { a+1 }} - {{ 1 } \over { (a+1)(a+2) }}$ 보다 작아야한다. 따라서 $x_{1}$ 는 $0$ 과 $1$ 사이의 어떤 수여야만한다.

• Part 3. $x_{2} \in \mathbb{Z}$

  $k \le a$ 면 ${{ a! } \over { k! }}$ 는 자연수이므로 $x_{2} \in \mathbb{N}$정리해보면

  $$ x_{1} \in (0,1) $$

  $$ x_{2} \in \mathbb{Z} $$

  그런데 $(0,1) \cap \mathbb{Z} = \emptyset$ 이므로 $x_{1} \ne x_{2}$ 인데, Part 1에서 분명히 $x_{1} = x_{2}$ 이었으므로 모순이다.

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$e$ 의 정의를 이용²

오일러 상수의 정의

$$ e: = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{n!} $$

$s_{n}$ 을 $e$ 의 부분합이라 하면, $e$ 의 정의에 의해 다음과 같다.

$$ \begin{align*} e - s_{n} =& \dfrac{1}{(n+1)!} + \dfrac{1}{(n+2)!} + \dfrac{1}{(n+3)!} + \cdots \\ &< \dfrac{1}{(n+1)!} + \dfrac{1}{(n+1)!(n+1)} + \dfrac{1}{(n+1)!(n+1)^{2}} + \cdots \\ =& \dfrac{1}{(n+1)!}\left( 1 + \dfrac{1}{(n+1)} + \dfrac{1}{(n+1)^{2}} + \cdots\right) \\ =& \dfrac{1}{(n+1)!}\left( \dfrac{n+1}{n} \right) \\ =& \dfrac{1}{n! n} \end{align*} $$

이제 $e$가 유리수라고 가정하자. 그러면 $e=\dfrac{p}{q}$를 만족하는 양의 정수 $p, q$가 존재하고, 위 식에 의해서 다음이 성립한다.

$$ 0 < q!(e - s_{q}) < \dfrac{1}{q} $$

가정에 의해 $q!e=(q-1)!p$ 는 정수다. 또한

$$ q! s_{q} = q! \left( 1 + 1 + \dfrac{1}{2!} + \cdots + \dfrac{1}{q!} \right) $$

이므로 $q!s_{q}$도 정수다. 따라서 $q!(e-s_{q})$ 는 정수인데, $q\ge 1$ 이므로 $q!(e-s_{q})$ 는 $0$ 과 $1$ 사이의 정수라는 말이 된다. 이는 모순이므로 가정이 틀렸고, 귀류법에 따라서 $e$ 는 무리수다.

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같이보기

• 오일러 상수 $e$ 의 정의
• $\pi$ 는 무리수다