📂동역학

호모클리닉 바이퍼케이션

정의

호모클리닉 바이퍼케이션^{homoclinic bifurcation}은 동역학계의 파라미터 변화에 따라 호모클리닉 오빗이 나타나거나 사라지는 바이퍼케이션이다.

설명

호모클리닉 바이퍼케이션은 그 이름 그대로 호모클리닉 오빗에 관련되어 있으며, 파라미터의 변화에 따라 위치가 움직이는 리미트 사이클과 새들 포인트이 만나는 이미지로 상상하면 좋다. 이 때 새들 포인트 근방만 보아서는 호모클리닉 오빗에 포함되었다는 것을 알 수 없기 때문에 글로벌 바이퍼케이션이기도 하다.

예시 ¹

$$\begin{align*} \dot{x} =& y \\ \dot{y} =& \mu y + x - x^{2} + xy \end{align*}$$ 예로써 위와 같은 시스템이 주어져 있다고 하자. 이 시스템은 두 개의 고정점 $v_{0} = (0, 0)$ 과 $v_{1} = (1, 0)$ 을 가지고 바이퍼케이션은 임계치 $\mu_{c} \approx -0.8645$ 에서 일어난다.

$\mu < \mu_{c}$

기본적으로 $v_{0}$ 은 새들이고 불안정한^unstable 고정점 $v_{1}$ 에서 나오는 플로우는 이 새들을 끼고 있는 매니폴드를 따라 리미트 사이클을 형성한다. $\mu < \mu_{c}$ 가 $\mu_{c}$ 에 가까워질수록 $v_{1}$ 을 둘러싼 리미트사이클은 $v_{0}$ 과 가까워져 간다.

$\mu \ge \mu_{c}$

$\mu$ 가 점점 커지다가 $\mu = \mu_{c}$ 가 되었을 때 호모클리닉 오빗이 나타나고, $\mu_{c}$ 보다 커지면 다시 호모클리닉 오빗이 사라진다.

같이보기

• 호모클리닉 오빗과 헤테로클리닉 오빗
• 헤테로클리닉 바이퍼케이션