원주율은 무리수임을 증명
정리
$$\pi \notin \mathbb{Q}$$
$\mathbb{Q}$ 는 유리수의 집합을 나타낸다.
증명
Strategy: 정수가 조밀성을 갖지 않는다는 점을 이용한다. 함수 $f$, $F$ 를 아주 교묘하게 정의해서 갖가지 트릭을 사용한다. 이 방법은 이반 니븐Ivan Niven에 의해 고안된 것으로 $\pi$ 가 무리수라는 것을 보이는 증명 중에서는 가장 쉽지만, 아쉽게도 입실론-델타 논법이 쓰이기 때문에 비약 없이는 고등학교 교과과정 내에서 증명할 수 없다.
$\mathbb{N}$ 는 자연수의 집합, $\mathbb{Z}$ 는 정수의 집합을 나타낸다.
Part 1. $f^{(j)} (0), f^{(j)} (\pi) \in \mathbb{Z}$
$\pi \in \mathbb{Q}$ 이라고 가정하면 원주율 $\pi$ 는 서로소인 어떤 $a,b \in \mathbb{N}$ 에 대해 $\pi = {{ a } \over {b}}$ 와 같이 나타날 수 있어야한다. 이에 대해 함수 $f$ 를 다음과 같이 정의하자.
$$ f(x) := {{ x^{n} ( a - bx )^{n} } \over { n! }} $$ 그러면 $f(x)$ 는 $n$ 보다 차수가 낮은 항을 가지지 않으며, $a, b, n \in \mathbb{N}$ 이므로 이항정리에 의해 $n! f(x)$ 의 모든 항들의 계수는 정수다. 따라서 $x = 0$ 이면 모든 $j = 0, 1, 2, \cdots$ 에 대해
$$ f^{(j)} (0) \in \mathbb{Z} $$
한편 $f(x) = f \left( {{ a } \over { b }} - x \right) = f( \pi - x)$ 이므로
$$ f^{(j)} (\pi) \in \mathbb{Z} $$
Part 2. $\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x dx \in \mathbb{Z}$
$$ F(x) := \sum_{j=0}^{n} ( -1 )^{j} f^{(2j)} (x) = f(x) - f ''(x) + f^{(4)} (x) - \cdots + (-1)^{n} f^{(2n)} (x) $$
$f$ 에 대한 새로운 함수 $F$ 를 위와 같이 정의하면
$$ \begin{align*} {{ d } \over { dx }} \left[ F ' (x) \sin x - F(x) \cos x \right] =& F’’(x) \sin x + F(x) \sin x \\ =& \left[ - \sum_{j=1}^{n} ( -1 )^{j} f^{(2j)} (x) + \sum_{j=0}^{n} ( -1 )^{j} f^{(2j)} (x) \right] \sin x \\ =& f(x) \sin x \end{align*} $$
거꾸로 $f(x) \sin x$ 를 $[0,\pi]$ 에서 적분해보면
$$ \begin{align*} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin x dx =& \left[ F ' (x) \sin x - F(x) \cos x \right]_{0}^{\pi} \\ =& F( \pi ) + F( 0 ) \end{align*} $$
그런데 Part 1에서 $f^{(j)} (0), f^{(j)} (\pi) \in \mathbb{Z}$ 이었으므로 $F(0), F(\pi) \in \mathbb{Z}$ 이고
$$ \left( F( 0 ) + F(\pi) \right) \in \mathbb{Z} $$
Part 3. $\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x dx \in \mathbb{N}$
$0 < x < \pi$ 라고 하면
$$ \begin{align*} f(x) =& {{ x^{n} ( a - bx )^{n} } \over { n! }} \\ =& {{ b^{n} x^{n} \left( {{ a } \over { b }} - x \right)^{n} } \over { n! }} \\ =& {{ b^{n} x^{n} \left( \pi - x \right)^{n} } \over { n! }} \end{align*} $$
이므로 $f(x) > 0$ 이고 $\sin x > 0$ 이므로
$$ 0 < f(x) \sin x $$
따라서 **Part 2.**의 $\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x dx \in \mathbb{Z}$ 은 사실
$$ \int_{0}^{\pi} f(x) \sin x dx \in \mathbb{N} $$
Part 4. $0 < f(x) \sin x < {{ \pi^{n} a^{n} } \over { n! }}$
$f$ 를 미분하면 $$ \begin{align*} f '(x) =& {{ n x^{n-1} ( a - bx )^{n} } \over { n! }} - {{ b n x^{n} ( a - bx )^{n-1} } \over { n! }} \\ =& {{ x^{n-1} ( a - bx )^{n-1} } \over { (n-1) ! }} \left[ (a-bx) - bx \right] \\ =& 2b {{ x^{n-1} ( a - bx )^{n-1} } \over { (n-1) ! }} \left[ {{ \pi } \over {2}} - x \right] \end{align*} $$ 이므로 $f$ 는 $x = {{\pi} \over {2}}$ 에서 최대값을 가진다. 직접 대입해서 계산해보면 $$ \begin{align*} f(x) \le & {{ b^{n} } \over { n! }} \left( {{\pi} \over {2}} \right)^{n} \left( {{\pi} \over {2}} \right)^{n} \\ =& {{ a^{n} } \over { n! }} \left( {{1} \over {2}} \right)^{n} \left( {{\pi} \over {2}} \right)^{n} \\ =& {{ a^{n} } \over { n! }} \left( {{\pi} \over {4}} \right)^{n} \\ <& {{ a^{n} \pi^{n} } \over { n! }} \end{align*} $$ 물론 $0 < x < \pi$ 에서 $| \sin x | \le 1$ 이므로 모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $$ 0 < f(x) \sin x < {{ (a \pi)^{n} } \over { n! }} = \lim_{n \to \infty} {{ (a \pi)^{n} } \over { n! }} = 0 $$ 이므로 $$ n \ge N \implies \int_{0}^{\pi} f(x) \sin x dx < 1 $$ 를 만족하는 $N \in \mathbb{N}$ 이 존재한다. 그런데 이는 $\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x dx \in \mathbb{N}$ 과 모순이므로, 다음의 결론을 얻는다. $$ \pi \notin \mathbb{Q} $$
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