logo

실수값을 갖는 가측 함수의 성질 📂측도론

실수값을 갖는 가측 함수의 성질

정리1

가측공간 (X,E)(X,\mathcal{E})에서 정의된 두 함수 f,g:X→Rf, g : X \to \mathbb{R}가 가측 함수이면, 다음의 함수들도 모두 가측이다.

cf,f2,f+g,fg,∣f∣ cf,\quad f^2,\quad f+g,\quad fg,\quad |f|

증명

가측함수

모든 α∈R\alpha \in \mathbb{R}에 대해서 다음의 식을 만족하는 f:X→R‾f : X \to \overline{\mathbb{R}}를 가측함수라고 한다.

Sf(α):={x∈X ∣ f(x)>α}∈E,∀α∈R S_{f}(\alpha):=\left\{ x\in X\ |\ f(x) >\alpha \right\} \in \mathcal{E},\quad \forall \alpha \in \mathbb{R}

cfcf

  • Case 1. c=0c=0

    {α>0{x∈X ∣ cf(x)=0>α}=∅∈Eα≤0{x∈X ∣ cf(x)=0>α}=X∈E \begin{cases} \alpha >0 & \left\{ x \in X\ |\ cf(x)=0 > \alpha \right\} =\emptyset \in \mathcal{E} \\ \alpha \le 0 & \left\{ x \in X\ |\ cf(x)=0 > \alpha \right\}=X \in \mathcal{E} \end{cases}

  • Case 2. c>0c>0

    {x∈X ∣ cf(x)>α}={x∈X ∣ f(x)>αc}∈E \left\{ x \in X\ |\ cf(x) > \alpha \right\}= \left\{ x \in X\ |\ f(x) > \frac{\alpha}{c} \right\} \in \mathcal{E}

  • Case 3. c<0c <0

    {x∈X ∣ cf(x)>α}={x∈X ∣ f(x)<αc}∈E \left\{ x \in X\ |\ cf(x) > \alpha \right\}= \left\{ x \in X\ |\ f(x) < \frac{\alpha}{c} \right\} \in \mathcal{E}

■

f2f^2

  • Case 1. α<0\alpha < 0

    {x∈X ∣ f2(x)>α}=X∈E \left\{ x \in X\ |\ f^2(x) > \alpha \right\}=X \in \mathcal{E}

  • Case 2. α≥0\alpha \ge 0

    {x∈X ∣ f2(x)>α}={x∈X ∣ f(x)>α}∪{x∈X ∣ f(x)<−α}∈E \left\{ x \in X\ |\ f^2(x) > \alpha \right\}=\left\{ x \in X\ |\ f(x) > \sqrt{\alpha} \right\} \cup \left\{ x \in X\ |\ f(x) < -\sqrt{\alpha} \right\} \in \mathcal{E}

    우변의 두 집합 모두 E\mathcal{E}의 원소이다. 따라서 σ\sigma-대수의 성질에 의해 두 집합의 합집합도 σ\sigma-대수의 원소이다.

■

f+gf+g

r∈Qr\in \mathbb{Q}라 하자. 그리고 다음과 같은 집합을 정의하자.

Sr:={x∈X ∣ f(x)>r}∩{x∈X ∣ g(x)>α−r} S_{r} :=\left\{ x \in X\ |\ f(x) > r \right\} \cap \left\{ x \in X\ |\ g(x) > \alpha -r \right\}

그러면 우변의 두 집합이 E\mathcal{E}의 원소이므로 σ\sigma-대수의 정의에 따라 그 둘의 교집합인 SrS_{r}도 E\mathcal{E}의 원소이다. 따라서 SrS_{r}의 가산합집합도 E\mathcal{E}의 원소이다. 즉, 아래의 등식을 보이면 증명완료이다.

{x∈X ∣ (f+g)(x)>α}=⋃r∈QSr \left\{ x \in X\ |\ (f+g)(x) > \alpha \right\} = \bigcup_{r\in\mathbb{Q}}S_{r}

식이 너무 기므로 간단히 {x∈X ∣ (f+g)(x)>α}={f+g>α}\left\{ x \in X\ |\ (f+g)(x) > \alpha \right\}=\left\{ f+g>\alpha \right\}라고 하자.

  • Part 1. {x∈X ∣ (f+g)(x)>α}⊃⋃r∈QSr\left\{ x \in X\ |\ (f+g)(x) > \alpha \right\} \supset \bigcup_{r\in\mathbb{Q}}S_{r}

    모든 rr에 대해서 SrS_{r}이 {f+g>α}\left\{ f+g>\alpha \right\}의 부분집합이므로 위 식이 성립하는 것은 자명하다.

  • Part 2. {x∈X ∣ (f+g)(x)>α}⊂⋃r∈QSr\left\{ x \in X\ |\ (f+g)(x) > \alpha \right\} \subset \bigcup_{r \in \mathbb{Q} } S_{r}

    x∈{f+g>α}x \in \left\{ f+g>\alpha \right\}라고 가정하자. 그러면 다음의 식을 만족하는 충분히 작은 ϵ\epsilon을 찾을 수 있다.

    f(x)+g(x)>α+ϵ \begin{equation} f(x) + g(x) > \alpha + \epsilon \end{equation}

    그리고 ∣f(x)−r∣<ϵ|f(x)-r| < \epsilon이 되도록 하는 유리수 r<f(x)r<f(x)을 선택하자. 그러면 다음이 성립한다.

    r<f(x)<r+ϵ  ⟹  f(x)−ϵ<r r < f(x) < r +\epsilon \implies f(x)-\epsilon < r

    이를 (1)(1)에 대입하면 다음을 얻는다.

    g(x)>α−(f(x)−ϵ)>α−r g(x) > \alpha -\big( f(x) -\epsilon \big) > \alpha-r

    따라서 이러한 rr에 대해서 x∈Srx \in S_{r}이므로 모든 rr에 대한 합집합에 대해서도 x∈⋃r∈QSrx \in \bigcup_{r\in \mathbb{Q}}S_{r}이다.

Part 1 과 Part 2 에 의하여 다음이 성립한다.

{x∈X ∣ (f+g)(x)>α}=⋃r∈QSr \left\{ x \in X\ |\ (f+g)(x) > \alpha \right\} = \bigcup_{r\in\mathbb{Q}}S_{r}

■

fgfg

fg=14[(f+g)2−(f−g)2]fg=\dfrac{1}{4} \big[ (f+g)^2 - (f-g)^2 \big]이므로 위의 세 결과에 의해 성립한다.

■

∣f∣|f|

  • Case 1. α≥0\alpha \ge 0

    {x∈X ∣ ∣f(x)∣>α}={x∈X ∣ f(x)>α}∪{f(x)<−α}\left\{ x\in X\ |\ |f(x)| > \alpha \right\}=\left\{x\in X\ |\ f(x)>\alpha \right\} \cup \left\{ f(x)<-\alpha \right\}이고 우변의 두 집합이 E\mathcal{E}의 원소이므로 이 둘의 교집합도 E\mathcal{E}의 원소이다.

  • Case 2. α<0\alpha < 0

    {x∈X ∣ ∣f(x)∣>α}=X∈E\left\{x\in X\ |\ |f(x)| > \alpha \right\}=X \in \mathcal{E}이므로 자명하다.

■

  1. Robert G. Bartle, The Elements of Integration and Lebesgue Measure (1995), p9-10 ↩︎