📂측도론

실수값을 갖는 가측 함수의 성질

정리¹

가측공간 $(X,\mathcal{E})$에서 정의된 두 함수 $f, g : X \to \mathbb{R}$가 가측 함수이면, 다음의 함수들도 모두 가측이다.

$$ cf,\quad f^2,\quad f+g,\quad fg,\quad |f| $$

증명

가측함수

모든 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해서 다음의 식을 만족하는 $f : X \to \overline{\mathbb{R}}$를 가측함수라고 한다.

$$ S_{f}(\alpha):=\left\{ x\in X\ |\ f(x) >\alpha \right\} \in \mathcal{E},\quad \forall \alpha \in \mathbb{R} $$

$cf$

• Case 1. $c=0$

  $$ \begin{cases} \alpha >0 & \left\{ x \in X\ |\ cf(x)=0 > \alpha \right\} =\emptyset \in \mathcal{E} \\ \alpha \le 0 & \left\{ x \in X\ |\ cf(x)=0 > \alpha \right\}=X \in \mathcal{E} \end{cases} $$

• Case 2. $c>0$

  $$ \left\{ x \in X\ |\ cf(x) > \alpha \right\}= \left\{ x \in X\ |\ f(x) > \frac{\alpha}{c} \right\} \in \mathcal{E} $$

• Case 3. $c <0$

  $$ \left\{ x \in X\ |\ cf(x) > \alpha \right\}= \left\{ x \in X\ |\ f(x) < \frac{\alpha}{c} \right\} \in \mathcal{E} $$

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$f^2$

• Case 1. $\alpha < 0$

  $$ \left\{ x \in X\ |\ f^2(x) > \alpha \right\}=X \in \mathcal{E} $$

• Case 2. $\alpha \ge 0$

  $$ \left\{ x \in X\ |\ f^2(x) > \alpha \right\}=\left\{ x \in X\ |\ f(x) > \sqrt{\alpha} \right\} \cup \left\{ x \in X\ |\ f(x) < -\sqrt{\alpha} \right\} \in \mathcal{E} $$

  우변의 두 집합 모두 $\mathcal{E}$의 원소이다. 따라서 $\sigma$-대수의 성질에 의해 두 집합의 합집합도 $\sigma$-대수의 원소이다.

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$f+g$

$r\in \mathbb{Q}$라 하자. 그리고 다음과 같은 집합을 정의하자.

$$ S_{r} :=\left\{ x \in X\ |\ f(x) > r \right\} \cap \left\{ x \in X\ |\ g(x) > \alpha -r \right\} $$

그러면 우변의 두 집합이 $\mathcal{E}$의 원소이므로 $\sigma$-대수의 정의에 따라 그 둘의 교집합인 $S_{r}$도 $\mathcal{E}$의 원소이다. 따라서 $S_{r}$의 가산합집합도 $\mathcal{E}$의 원소이다. 즉, 아래의 등식을 보이면 증명완료이다.

$$ \left\{ x \in X\ |\ (f+g)(x) > \alpha \right\} = \bigcup_{r\in\mathbb{Q}}S_{r} $$

식이 너무 기므로 간단히 $\left\{ x \in X\ |\ (f+g)(x) > \alpha \right\}=\left\{ f+g>\alpha \right\}$라고 하자.

• Part 1. $\left\{ x \in X\ |\ (f+g)(x) > \alpha \right\} \supset \bigcup_{r\in\mathbb{Q}}S_{r}$

  모든 $r$에 대해서 $S_{r}$이 $\left\{ f+g>\alpha \right\}$의 부분집합이므로 위 식이 성립하는 것은 자명하다.

• Part 2. $\left\{ x \in X\ |\ (f+g)(x) > \alpha \right\} \subset \bigcup_{r \in \mathbb{Q} } S_{r}$

  $x \in \left\{ f+g>\alpha \right\}$라고 가정하자. 그러면 다음의 식을 만족하는 충분히 작은 $\epsilon$을 찾을 수 있다.

  $$ \begin{equation} f(x) + g(x) > \alpha + \epsilon \end{equation} $$

  그리고 $|f(x)-r| < \epsilon$이 되도록 하는 유리수 $r<f(x)$을 선택하자. 그러면 다음이 성립한다.

  $$ r < f(x) < r +\epsilon \implies f(x)-\epsilon < r $$

  이를 $(1)$에 대입하면 다음을 얻는다.

  $$ g(x) > \alpha -\big( f(x) -\epsilon \big) > \alpha-r $$

  따라서 이러한 $r$에 대해서 $x \in S_{r}$이므로 모든 $r$에 대한 합집합에 대해서도 $x \in \bigcup_{r\in \mathbb{Q}}S_{r}$이다.

Part 1 과 Part 2 에 의하여 다음이 성립한다.

$$ \left\{ x \in X\ |\ (f+g)(x) > \alpha \right\} = \bigcup_{r\in\mathbb{Q}}S_{r} $$

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$fg$

$fg=\dfrac{1}{4} \big[ (f+g)^2 - (f-g)^2 \big]$이므로 위의 세 결과에 의해 성립한다.

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$|f|$

• Case 1. $\alpha \ge 0$

  $\left\{ x\in X\ |\ |f(x)| > \alpha \right\}=\left\{x\in X\ |\ f(x)>\alpha \right\} \cup \left\{ f(x)<-\alpha \right\}$이고 우변의 두 집합이 $\mathcal{E}$의 원소이므로 이 둘의 교집합도 $\mathcal{E}$의 원소이다.

• Case 2. $\alpha < 0$

  $\left\{x\in X\ |\ |f(x)| > \alpha \right\}=X \in \mathcal{E}$이므로 자명하다.

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