📂수치해석

사다리꼴 룰

정의

$f : [a,b] \to \mathbb{R}$ 가 $[a,b]$ 에서 적분가능하고 $[a,b]$ 를 간격이 $\displaystyle h:= {{b-a} \over {n}}$ 로 일정한 $a = x_{0} < \cdots < x_{n} = b$ 와 같은 노드 포인트들로 쪼갰다고 하자. 다음과 같이 정의된 수치적 적분 오퍼레이터 $I_{n}^{1}$ 을 사다리꼴 룰이라 한다. $$ I_{n}^{1} (f) := \displaystyle \sum_{k=1}^{n} {{h} \over {2}} \left( f(x_{k-1}) + f(x_{k} ) \right) $$

정리

$f \in C^2 [a,b]$ 이라고 하자. 사다리꼴 룰의 에러 $E_{1}^{1}$ 와 어심토틱 에러 $\tilde{E}_{n}^{1}$ 는 다음과 같다.

• [1]: $$E_{1}^{1} (f) = - {{1} \over {12}} h^{3} f '' ( \xi )$$
• [2]: $$\tilde{E}_{n}^{1} (f) = - {{ h^2 } \over {12}} [ f '(b) - f '(a) ]$$

설명

$I_{n}^{1} (f)$ 을 풀어서 써보면 다음과 같다. $$ I_{n}^{1} (f) = h \left[ {{1} \over {2}} f(x_{0}) + f ( x_{1} ) + \cdots + f ( x_{n-1} ) + {{1} \over {2}} f(x_{n} ) \right] $$ 사다리꼴 룰은 정적분 $\displaystyle I (f) = \int_{a}^{b} f(x) dx$ 의 수치적 적분을 구하기 위한 방법 중 가장 단순한 방법 중 하나로, 구분구적법만 알아도 곧장 떠올릴 수 있는 방법이기도 하다.

증명 ¹

[1]

전략: 사다리꼴이 주어진 함수의 리니어 인터폴레이션이므로 폴리노미얼 인터폴레이션의 성질을 사용할 수 있다.

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$$ I_{1}^{1} (f) := \left( {{ b - a } \over { 2 }} \right) [ f(a) + f(b) ] $$ 이는 구간 $[a,b]$ 에서 $f$ 를 리니어 인터폴레이션 해서 그 함수의 적분값으로 $I(f)$ 를 근사한 것으로 볼 수 있다. 그렇다면 실제 $I(f)$ 와 $I_{1}^{1} (f)$ 의 오차 $E_{n}^{1} (f)$ 는 어떤 $\xi \in [a,b]$ 에 대해 다음과 같이 계산된다.

폴리노미얼 인터폴레이션:

• [4] 실제 함수와의 오차: $(n+1)$번 미분가능한 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 와 어떤 $\xi \in \mathscr{H} \left\{ x_{0} , \cdots , x_{n} \right\}$ 에 대해 $f$ 의 폴리노미얼 인터폴레이션 $p_{n}$ 은 어떤 $t \in \mathbb{R}$ 에 대해 다음을 만족한다. $$ f(t) - p_{n} (t) = {{ (t - x_{0}) \cdots (t - x_{n}) } \over { (n+1)! }} f^{(n+1)} ( \xi ) $$

$$ \begin{align*} E_{1}^{1} (f) :=& I(f) - I_{1}^{1} (f) \\ =& \int_{a}^{b} \left[ f(x) - {{ f(b) ( x - a ) - f(a) (x - b) } \over { b - a }} \right] dx \\ =& \int_{a}^{b} \left[ f(x) - p_{1} (x) \right] dx \\ =& {{1} \over {2}} f '' ( \xi ) \int_{a}^{b} (x-a) (x-b) dx \\ =& \left[ {{1} \over {2}} f '' ( \xi ) \right] \left[ - {{1} \over {6}} (b-a)^{3} \right] \\ =& - {{1} \over {12}} (b-a)^{3} f '' ( \xi ) \\ =& - {{1} \over {12}} h^{3} f '' ( \xi ) \end{align*} $$

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[2]

전략: 리만 합만 유도해내면 그 다음은 미적분학의 기본정리에 의해 자연스럽게 연역된다.

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정리 [1]에 의해 실제 $I(f)$ 와 $I_{n}^{1} (f)$ 의 오차는 어떤 $\xi_{k} \in [x_{k-1}, x_{k} ]$ 들에 대해 다음과 같이 계산된다. $$ \begin{align*} \displaystyle E_{n}^{1} (f) =& I (f) - I_{n}^{1} (f) \\ =& \sum_{k=1}^{n} \left( - {{ h^3 } \over { 12 }} f '' ( \xi_{k} ) \right) \end{align*} $$ 이에 대해 $$ \begin{align*} \lim_{n \to \infty} {{ E_{n}^{1} (f) } \over { h^2 }} =& \lim_{n \to \infty} {{1} \over {h^2}} \sum_{k=1}^{n} \left( - {{ h^3 } \over { 12 }} f '' ( \xi_{k} ) \right) \\ =& - {{ 1 } \over { 12 }} \lim_{ n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} h f '' ( \xi_{k} ) \\ =& - {{ 1 } \over { 12 }} \int_{a}^{b} f ''(x) dx \\ =& - {{ 1 } \over { 12 }} [ f '(b) - f '(a) ] \end{align*} $$ 따라서 $$ \lim_{n \to \infty} {{\tilde{E}_{n} (f) } \over { E_{n} (f) }} = 1 $$

$$ E_{n}^{1} (f) \approx \tilde{E}_{n}^{1} (f) = - {{ h^2 } \over { 12 }} [ f '(b) - f '(a) ] $$

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