베르누이 부등식 증명
정리
$\alpha > 0$ 이라고 하면 모든 $x \in [ - 1, \infty )$ 에 대해 다음 두 부등식이 성립한다.
- [1]: $\alpha \in (0, 1] \implies (1 + x )^{\alpha } \le 1 + \alpha x $
- [2] $\alpha \in (1, \infty] \implies (1 + x )^{\alpha } \ge 1 + \alpha x $
설명
부등식의 모양을 잘 보면 $\alpha$ 의 크기에 달려 있긴 하지만 둘 중 한 쪽은 곱이고, 나머지 한 쪽은 거듭제곱이다. 물론 조건 나름이지만 곱이든 거듭제곱이든 거슬리는 계산 하나를 내가 원하는 쪽으로 바꿀 수 있다는 것은 굉장히 좋은 일이다.
증명
전략: 평균값 정리만 쓰면 거의 다 끝난다. [2]의 증명은 **[1]과 거의 같으므로 생략한다.
[1]
함수 $f : [ -1 , \infty) \to \mathbb{R}$ 을 $f(t) := t^{\alpha}$ 와 같이 정의하면 $f’ (t) = \alpha t^{ \alpha -1 }$ 이다. 평균값 정리에 의해 $$ \begin{align} f(1+x) - f(1) = \alpha x c^{\alpha - 1} \label{1} \end{align} $$ 를 만족하는 $c$ 가 $1$ 과 $1 + x$ 사이에 존재한다.
Case 1. $0 < x$
$c \in (1, 1+ x)$ 이므로 $c>1$ 이고 $\alpha - 1 \le 0$ 이므로 $$ c^{\alpha -1} \le 1 $$ 양변에 $x > 0$ 을 곱하면 $$ x c^{\alpha -1} \le x $$
Case 2. $-1 \le x \le 0$
$c \in (1 + x, 1)$ 이므로 $c \le 1$ 이고 $\alpha - 1 \le 0$ 이므로 $$ c^{\alpha - 1} \ge 1 $$ 양변에 $x \le 0$ 을 곱하면 $$ x c^{\alpha -1} \le x $$ 어떤 경우든 $\eqref{1}$ 에 따라 $$ \begin{align*} \displaystyle (1 +x)^{\alpha} =& f(1+x) \\ =& f(1) + \alpha x c^{ \alpha - 1 } \\ \le & f(1) + \alpha x \\ =& 1 + \alpha x \end{align*} $$
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한편 모든 $x > 0$ 에 대해 $1 + x < e^{x}$ 이므로 $e \in [ 1, \infty )$ 에 대해 다음의 따름정리를 얻을 수 있다.
따름정리
$$(1 + x )^{ \alpha } \le e^{ x \alpha }$$