미적분학에서의 오일러 공식
📂미분적분학 미적분학에서의 오일러 공식 정리 오일러 공식: e i x = cos x + i sin x
{ e }^{ ix }= \cos x + i \sin x
e i x = cos x + i sin x
오일러 등식: e i π + 1 = 0
{ e }^{ i\pi }+1=0
e iπ + 1 = 0
설명 오일러 공식 euler’s formula 은 그 형태 자체가 워낙 기이해서 오일러 본인조차 어디다 쓰일지는 몰랐다고 하는데, 현대에는 너무나 많은 분야에서 활용되고 있어 요약을 하기가 어려울 정도로 유용한 공식이 되었다. 허수라는 것이 학계에서 아직 잘 받아들여지지 않았을 당시의 발견이라는 점을 생각해보면 더욱 경이롭다.유도 자체는 지수 함수, 사인 함수, 코사인 함수의 테일러 전개 를 통해 간단히 할 수 있다.
e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !
{ { e ^ x } }=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ n } }{ n! } }
e x = n = 0 ∑ ∞ n ! x n
sin x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! ( − 1 ) n
\sin x=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ 2n+1 } }{ (2n+1)! }{ { (-1) }^{ n } } }
sin x = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n + 1 )! x 2 n + 1 ( − 1 ) n
cos x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n ( 2 n ) ! ( − 1 ) n
\cos x=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ 2n } }{ (2n)! }{ { (-1) }^{ n } } }
cos x = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n )! x 2 n ( − 1 ) n
유도(오일러 공식) e i x = ∑ n = 0 ∞ ( i x ) n n ! = ( i x ) 0 0 ! + ( i x ) 1 1 ! + ( i x ) 2 2 ! + ( i x ) 3 3 ! + ( i x ) 4 4 ! + ⋯ = 1 0 ! + i x 1 ! − x 2 2 ! − i x 3 3 ! + x 4 4 ! + ⋯ = ( 1 0 ! − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ ) + i ( x 1 ! − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ ) = cos x + i sin x
\begin{align*}
{ e }^{ ix } =& \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { (ix) } ^{ n } }{ n! } }
\\ =&\frac { { (ix) } ^{ 0 } }{ 0! }+\frac { { (ix) } ^{ 1 } }{ 1! }+\frac { { (ix) } ^{ 2 } }{ 2! }+\frac { { (ix) } ^{ 3 } }{ 3! }+\frac { { (ix) } ^{ 4 } }{ 4! }+ \cdots
\\ =&\frac { 1 }{ 0! }+\frac { ix }{ 1! }-\frac { { x }^{ 2 } }{ 2! }-\frac { i { x }^{ 3 } }{ 3! }+\frac { { x } ^{ 4 } }{ 4! }+ \cdots
\\ =& \left( \frac { 1 }{ 0! } - \frac { { x } ^{ 2 } }{ 2! }+\frac { { x } ^{ 4 } }{ 4! }-\frac { { x } ^{ 6 } }{ 6! }+\cdots \right) + i\left( \frac { x }{ 1! } - \frac { { x } ^{ 3 } }{ 3! }+\frac { { x } ^{ 5 } }{ 5! }-\frac { { x } ^{ 7 } }{ 7! }+\cdots \right)
\\ =& \cos x + i \sin x
\end{align*}
e i x = = = = = n = 0 ∑ ∞ n ! ( i x ) n 0 ! ( i x ) 0 + 1 ! ( i x ) 1 + 2 ! ( i x ) 2 + 3 ! ( i x ) 3 + 4 ! ( i x ) 4 + ⋯ 0 ! 1 + 1 ! i x − 2 ! x 2 − 3 ! i x 3 + 4 ! x 4 + ⋯ ( 0 ! 1 − 2 ! x 2 + 4 ! x 4 − 6 ! x 6 + ⋯ ) + i ( 1 ! x − 3 ! x 3 + 5 ! x 5 − 7 ! x 7 + ⋯ ) cos x + i sin x
따라서
e i x = cos x + i sin x
{ e }^{ ix }= \cos x + i \sin x
e i x = cos x + i sin x
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이 공식에서 특히 x = π x=\pi x = π i i i i i i i i i^i i i
증명 e i π + 1 = 0 ⟹ e i π = − 1 ⟹ e i π 2 = − 1 ⟹ ( e i π 2 ) i = − 1 i ⟹ e i π 2 i = i i ⟹ i i = e − π 2 ⟹ i i = 1 e π
\begin{align*}
&& { e }^{ i\pi }+1 =& 0
\\ \implies && { e }^{ i\pi }=&-1
\\ \implies && { e }^{ \frac { i\pi }{ 2 } } =& \sqrt { -1 }
\\ \implies && { \left( { e } ^{ \frac { i\pi }{ 2 } } \right) }^{ i } =& { \sqrt { -1 } }^{ i }
\\ \implies && { e }^{ \frac { i\pi }{ 2 }i } =& { i } ^{ i }
\\ \implies && { i }^{ i } =& { e }^{ -\frac { \pi }{ 2 } }
\\ \implies && { i }^{ i } =& \frac { 1 }{ \sqrt { { e }^{ \pi } } }
\end{align*}
⟹ ⟹ ⟹ ⟹ ⟹ ⟹ e iπ + 1 = e iπ = e 2 iπ = ( e 2 iπ ) i = e 2 iπ i = i i = i i = 0 − 1 − 1 − 1 i i i e − 2 π e π 1
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