📂르벡공간

L1공간과 L2공간의 관계

정의

• $L^{1}$ 공간

  아래의 식을 만족하는 함수 $f$를 구간 $[a,\ b]$에서 (절대)적분가능^{absolutely integrable}다고 한다.

  $$\int_{a}^b |f(x)| dx < \infty$$

  구간 $[a,b]$에서 적분가능한 함수들의 집합을 $L^{1}(a,b)$이라 한다.

  $$L^{1}(a,b)= \left\{ f : \int_{-a}^{b} |f(x)| dx < \infty \right\}$$

• $L^{2}$ 공간

  아래의 식을 만족하는 함수를 제곱적분가능^{square-integrable}하다고 한다.

  $$\int_{a}^b |f(x)|^{2} dx < \infty$$

  구간 $[a,b]$에서 제곱적분가능한 함수들의 집합을 $L^{2}(a,b)$이라 한다.

  $$L^{2}(a,b) := \left\{ f : \int_{a}^b |f(x)|^{2} dx < \infty \right\}$$

설명¹

구간을 따로 언급하지 않는 경우 실수 전체 $\mathbb{R}$라고 생각하면 된다.

$$\begin{align*} L^{1} &= L^{1}(\mathbb{R})=\left\{ f : \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)| dx < \infty \right\} \\ L^{2} &= L^{2}(\mathbb{R})=\left\{ f : \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^{2} dx < \infty \right\} \end{align*}$$

언뜻보면 $L^{1}$ 공간과 $L^{2}$ 공간 사이에 포함 관계가 성립할 것 같지만 전혀 그렇지 않다.

$$L^{1} \nsubseteq L^{2},\quad L^{2} \nsubseteq L^{1}$$

예를들어 아래와 같은 함수를 생각해보자.

$$\begin{align*} f(x) &= \begin{cases} x^{-\frac{2}{3}} & \mathrm{if}\ 0<x<1 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases} \\ g(x) &= \begin{cases} x^{-\frac{2}{3}} & \mathrm{if}\ 1<x \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases} \end{align*}$$

계산하여 확인해보면, $f$는 $L^{1}$함수이지만 $L^{2}$함수는 아니다.

$$\begin{align*} \int |f(x)|dx &= \int_{0}^1 x^{-\frac{2}{3}}dx=\left[ 3x^{\frac{1}{3}} \right]_{0}^1<\infty \\ \int |f(x)|^2dx &= \int_{0}^1 x^{-\frac{4}{3}}dx=\left[ -3x^{-\frac{1}{3}} \right]_{0}^1=\infty \end{align*}$$

반면에 $g$는 $L^{2}$함수이지만 $L^{1}$함수는 아니다.

$$\begin{align*} \int |g(x)|dx &= \int_{1}^\infty x^{-\frac{2}{3}}dx=\left[ 3x^{\frac{1}{3}} \right]_{1}^\infty=\infty \\ \int |g(x)|^2dx &= \int_{1}^\infty x^{-\frac{4}{3}}dx=\left[ -3x^{-\frac{1}{3}} \right]_{1}^\infty<\infty \end{align*}$$

하지만 다음과 같은 조건이 만족되면 $L^{1}$함수도 $L^{2}$함수가 되거나 $L^{2}$함수도 $L^{1}$함수가 된다. 또한 적분 구간이 바운드되어있으면 $L^{2} \subset L^{1}$가 성립한다.

정리

(a) $f \in L^{1}$이고 $f$가 유계라고 하자. 그러면 $f \in L^{2}$이다.

(b) $f \in L^{2}$이고 $f$가 유한한 구간 밖에서 $0$이라고 하자. 그러면 $f \in L^{1}$이다.

증명

(a)

$f$가 유계라고 가정했으므로 다음과 같은 양수 $M$이 존재한다.

$$|f| \le M$$

따라서 $|f|^{2} \le M|f|$이다. 그러므로 다음이 성립한다.

$$\int |f|^2dx \le \int M|f|dx=M\int |f|dx <\infty$$

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(b)

가정에 의해 아래의 식이 성립한다.

$$\int |f|dx=\int_{a}^b|f|dx$$

그러면 코시-슈바르츠 부등식 $| \langle x,\ y \rangle | \le \|x\| \|y\|$에 의하여 다음이 성립한다.

$$\begin{align*} \int_{a}^b|f|dx =&\ \int_{a}^b1\cdot |f|dx \\ =&\ \langle 1 , |f| \rangle \\ \le& \| 1 \|_{2} \| |f| \|_{2} \\ =&\ (b-a)^{\frac{1}{2}}\left( \int_{a}^b|f|^{2} dx\right)^{\frac{1}{2}} \\ <& \infty \end{align*}$$

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