📂해석개론

코시 곱: 수렴하는 두 멱급수의 곱

정리 ¹

$f(x) : = \sum _{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k}$ 와 $g(x) : = \sum_{k=0}^{\infty} b_{k} x^{k}$ 의 수렴구간이 $(-r,r)$ 이고 $c_{k} := \sum_{j=0}^{k} a_{j} b_{k-j}$ 이라고 하면 $\sum_{k=0}^{\infty} c_{k} x^{k}$ 는 수렴구간 $(-r,r)$ 상에서 $f(x)g(x)$ 로 수렴한다.

설명

계수들의 곱들이 알아서 두 함수의 곱의 계수로 수렴해준다는 점은 사실 꽤 신기한 일이다. 그냥 유한다항함수였다면 증명조차 필요 없을 정도로 당연하지만, 멱급수는 무한히 많은 항을 가지기 때문이다.

증명

$x \in (-r,r)$ 와 $n \in \mathbb{N}$ 을 하나씩 픽스하고 다음과 같이 함수열들을 정의하자.

$$ \begin{align*} f_{n} (x) : =& \sum_{k=0}^{n} a_{k} x^{k} \\ g_{n} (x) : =& \sum_{k=0}^{n} b_{k} x^{k} \\ h_{n} (x) : =& \sum_{k=0}^{n} c_{k} x^{k} \end{align*} $$

유한히 많은 항에 대해서는 덧셈에 대한 교환법칙이 성립하므로 $$ \begin{align*} h_{n} (x) =& \sum_{k=0}^{n} c_{k} x^{k} \\ =& \sum_{k=0}^{n} \sum_{j=0}^{k} a_{j} b_{k-j} x^{j} x^{k-j} % \\ =& \sum_{k=0}^{n} \left[ a_{0} b_{k} x^{0} x^{k} + a_{1} b_{k-1} x^{1} x^{k-1} + \cdots + a_{k-1} b_{1} x^{1} x^{k-1} + a_{k} b_{0} x^{0} x^{k} \right] \\ =& \sum_{j=0}^{0} a_{j} b_{0-j} x^{j} x^{0-j} + \sum_{j=0}^{1} a_{j} b_{1-j} x^{j} x^{1-j} + \cdots + \sum_{j=0}^{n} a_{j} b_{n-j} x^{j} x^{n-j} \\ =& + a_{0} b_{0} x^{0} x^{0} \\ & + a_{0} b_{1} x^{0} x^{1} + a_{1} b_{0} x^{1} x^{0} \\ & \vdots \\ & + a_{0} b_{n} x^{0} x^{n} + a_{1} b_{n-1} x^{1} x^{n-1} + \cdots + a_{n} b_{n} x^{n} x^{0} \\ (\text{sum by column}) =& a_{0} x^{0} \sum_{k=0}^{n} b_{k} x^{k} + a_{1} x^{1} \sum_{k=1}^{n} b_{k} x^{k-1} + \cdots + a_{n} x^{n} \sum_{k=n}^{n} b_{k} x^{k-k} \\ =& \sum_{j=0}^{n} a_{j} x^{j} \sum_{k=j}^{n} b_{k-j} x^{k-j} \\ =& \sum_{j=0}^{n} a_{j} x^{j} g_{n-j} (x) \\ =& \sum_{j=0}^{n} a_{j} x^{j} \left[ g_{n-j} (x) + g(x) - g(x) \right] \\ =& g(x) \sum_{j=0}^{n} a_{j} x^{j} + \sum_{j=0}^{n} a_{j} x^{j} \left[ g_{n-j} (x) - g(x) \right] \\ =& g(x) f_{n} (x) + \sum_{j=0}^{n} a_{j} x^{j} \left[ g_{n-j} (x) - g(x) \right] \end{align*} $$

$\lim _{n \to \infty} f_{n} (x) = f(x)$ 이므로 $\lim _{n \to \infty} \sum_{j=0}^{n} a_{j} x^{j} \left[ g_{n-j} (x) - g(x) \right] = 0$ 임을 보이기만 하면 된다.

임의의 양수 $\varepsilon > 0$ 이 주어졌다고 하자.수렴구간 내에서 $\lim _{n \to \infty} g_{n} (x) = g(x)$ 이고 $f(x)$ 는 절대수렴하므로 모든 자연수 $n > j$ 에 대해

$$ | g_{n- j } (x) - g (x) | \le M $$

$$ \sum_{k=0}^{\infty} \left| a_{k} x^{k} \right| < M $$

을 만족하는 $M > 0$ 가 존재한다. 마찬가지의 이유로 이 $M$ 에 대해

$$ l \ge N \implies | g_{ l } (x) - g (x) | < {{\varepsilon} \over {2M}} $$

$$ \sum_{k=N+1}^{\infty} \left| a_{k} x^{k} \right| < {{\varepsilon} \over {2M}} $$

을 만족하는 $N \in \mathbb{N}$ 을 잡을 수 있다.

이제 $n > 2N$ 이라고 두면

$$ \begin{align*} \left| \sum_{j=0}^{n} a_{j} x^{j} \left[ g_{n-j} (x) - g(x) \right] \right| =& \left| \sum_{j=0}^{N} a_{j} x^{j} \left[ g_{n-j} (x) - g(x) \right] + \sum_{j=N+1}^{n} a_{j} x^{j} \left[ g_{n-j} (x) - g(x) \right] \right| \\ \le & \left| \sum_{j=0}^{N} a_{j} x^{j} \left[ g_{n-j} (x) - g(x) \right] \right| + \left| \sum_{j=N+1}^{n} a_{j} x^{j} \left[ g_{n-j} (x) - g(x) \right] \right| \\ \le & \sum_{j=0}^{N} \left| a_{j} x^{j} \right| \left| g_{n-j} (x) - g(x) \right|+ \sum_{j=N+1}^{n} \left| a_{j} x^{j} \right| \left| g_{n-j} (x) - g(x) \right| \\ \le & {{\varepsilon} \over {2M}} \sum_{j=0}^{N} \left| a_{j} x^{j} \right| + M \sum_{j=N+1}^{n} \left| a_{j} x^{j} \right| \\ \le & {{\varepsilon} \over {2M}} \cdot M + M \cdot {{\varepsilon} \over {2M}} \\ \le & {{\varepsilon} \over {2}} + {{\varepsilon} \over {2}} \\ =& \varepsilon \end{align*} $$

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