가법함수와 승법함수 📂함수

가법함수와 승법함수

함수 $f : X \to Y$가 주어졌다고 하자. $a, b \in X$, $a_{i} \in X\ (i=1,\cdots)$라고 하자.

준가법 함수

$f$가 아래의 식을 만족할 때 준가법 함수^{subadditive function}라고 한다.

$$ f(a+b) \le f(a)+f(b) $$

절댓값을 예로 들 수 있다.

$$ |3+(-4)| \le |3|+|-4| $$

다른 예로 $f(x)=2x+3$이라 하면

$$ 13=f(2+3) \le f(2)+f(3)=7+9=16 $$

$f$가 아래의 식을 만족할 때 가법 함수^{additive function}라고 한다.

$$ f(a+b) = f(a)+f(b) $$

준가법성에서 등식이 성립하는 경우이다.

예로 $f(x)=4x$라 하면

$$ 20=f(2+3)=f(2)+f(3)=20 $$

집합 $E_{1},\ E_2$가 $E_{1} \cap E_2 = \emptyset$를 만족하고 $n(E_{i})=E_{i}$의 원소의 개수라고 할 때

$$ n(E_{1} \cup E_2) = n(E_{1}) + n(E_2) $$

$f$가 아래의 식을 만족할 때 가산준가법 함수^{countable subadditive/$\sigma$-subadditive function}라고 한다.

$$ f \left( \sum_{i=1}^\infty a_{i} \right) \le \sum \limits_{i=1}^\infty f(a_{i}) $$

준가법성, 가법성을 보면 임의의 $N$개의 원소에 대해서도 성립한다는 것을 알 수 있다. 가산개의 원소에 대해서 성립하면 가산준가법성을 가진다고 한다. 가산준가법성을 가지는 예로 외측도가 있다.

$f$가 아래의 식을 만족할 때 가산가법 함수^{countable additive/$\sigma$-additive function}라고 한다.

$$ f \left( \sum_{i=1}^\infty a_{i} \right) = \sum \limits_{i=1}^\infty f(a_{i}) $$

가산준가법성에서 등식이 성립하는 경우이다.

서로 구별되는 원소들에 대해서는 외측도가 가산가법성을 가진다. $E_{i} \cap E_{j} =\emptyset \quad \forall\ i,j$이면

$$ \mu^{\ast} \left( \bigsqcup _{i=1}^\infty E_{i} \right) = \sum _{i=1}^\infty \mu^{\ast}(E_{i}) $$

$f$가 아래의 식을 만족할 때 준승법 함수^{submultiplicative function}라고 한다.

$$ f(ab) \le f(a)f(b) $$

위에서 얘기했던 덧셈에 대한 성질을 그대로 곱셈에 대하여 적용한 것이다.

$f$가 아래의 식을 만족할 때 승법 함수^{multiplicative function}라고 한다.

$$ f(ab) = f(a)f(b) $$

준승법성에서 등식이 성립하는 경우이다.