📂초함수론

초함수의 미분

빌드업

초함수는 정의역이 함수공간이기 때문에 실수 공간에서 정의된 함수와 같은 식으로 미분을 할 수 있는 건 아니다. 하지만 정칙 초함수의 경우 대응되는 국소 적분 가능한 함수 $u\in L_{\mathrm{loc}}^{1}$가 있어서 아래와 같이 표현된다.

$$T_{u}(\phi) =\int u(x)\phi (x) dx,\quad \phi \in \mathcal{D}$$

따라서 $u$에 가해지는 어떤 작용 $S$에 의해 $Su=u^{\prime}$을 얻을 수 있을텐데 여전히 $u^{\prime}$이 국소 적분 가능한 함수라면 거기에 대응되는 초함수 $T_{u^{\prime}}$이 존재한다. 따라서 $u$에 대한 작용 $S$를 $T_{u}$에 대한 작용인 것처럼 생각하자는 것이다.이러한 아이디어를 초함수 전체로 확장하여 초함수의 미분을 정의하려고 한다.

아래에서는 $u\in C^{\infty}$라고 가정하는데 꼭 그럴 필요는 없다. $u \in C^{n}$라고 두고 $n$계 도함수까지만 얘기해도 된다.

어떤 스무스 함수 $u\in C^{\infty}$가 주어졌다고 하자. 테스트 함수 $\phi$는 컴팩트 서포트를 가지므로 테스트 함수의 서포트를 포함하는 어떤 컴팩트 셋 $K$위에서 $u$가 정의되어있다고 생각해도 무관하다. 컴팩트 셋 위에서 스무스 함수는 국소 적분 가능하므로 $u$에 대응되는 정칙 초함수 $T_{u}$를 생각해줄 수 있다.

한편 $u$는 스무스 함수이므로 미분가능하고, $u^{\prime}$ 역시 국소 적분 가능하므로 대응되는 정칙 초함수 $T_{u^{\prime}}$이 존재한다. 그러면 테스트 함수 $\phi \in \mathcal{D}$에 대해서 부분적분법을 써서 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$\begin{align*} T_{u^{\prime}}(\phi) &= \int u^{\prime}(x)\phi (x)dx \\ &= \left[ u(x) \phi (x) \right]_{-\infty}^{\infty} -\int u(x)\phi ^{\prime} (x) dx \end{align*}$$

여기서 $\phi$는 컴팩트 서포트를 가지므로 첫째항은 $0$이다. 따라서 다음을 얻는다.

$$T_{u^{\prime}}(\phi)=-\int u(x)\phi ^{\prime} (x) dx=-T_{u}(\phi^{\prime})$$

정의¹

초함수 $T$의 도함수를 아래와 같이 정의 한다.

$$(DT)(\phi):= -T(D\phi)$$

이때 $D$는 미분 연산자이다. 멀티 인덱스 $\alpha$에 대해서는 다음과 같다.

$$(D^{\alpha}T)(\phi):= \left| -1 \right|^{\left| \alpha \right| } T(D^{\alpha}\phi)$$

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테스트 함수의 도함수도 테스트 함수이므로 정의역에 문제가 없고, 그 점을 제외하면 상수항 $\left| -1 \right|^{\left| \alpha \right|}$가 곱해진 것 뿐이므로 $D^{\alpha}T$도 역시 초함수가 된다는 사실을 알 수 있다. 물론 초함수의 정의를 이용해 증명할 수 있지만 굳이 그럴 필요는 없다.