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정규직교기저 완비 정규직교집합 📂르벡공간

정규직교기저 완비 정규직교집합

정리: 정규직교집합이 가지는 동치조건

{ϕn}1∞\left\{ \phi_{n} \right\}_{1}^\infty가 L2(a,b)L^2(a,b)의 정규직교집합 이고 f∈L2(a,b)f \in L^2(a,b)라고 하자. 그러면 아래의 조건은 모두 동치이다.

  • (a)(a) 모든 nn에 대해서 ⟨f,ϕn⟩=0\left\langle f, \phi_{n} \right\rangle=0이면, f=0f=0이다.

  • (b)(b) 모든 f∈L2(a,b)f\in L^2(a,b)에 대해서, 급수 ∑1∞⟨f,ϕn⟩ϕn\sum_{1}^\infty \left\langle f,\phi_{n}\right\rangle\phi_{n}이 ff로 놈 센스에서 수렴 한다. 다시 말해 아래의 식이 성립한다.

    f=∑1∞⟨f,ϕn⟩ϕn f=\sum_{1}^\infty \left\langle f,\phi_{n}\right\rangle\phi_{n}

  • (c)(c) 모든 f∈L2(a,b)f \in L^2(a,b)에 대해서 **파세발 방정식Parseval’s equation이라 불리는 아래와 같은 식을 만족한다.

    ∥f∥2=∑n=1∞∣⟨f,ϕn⟩∣2 \| f \|^2 = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \left| \left\langle f,\phi_{n} \right\rangle \right|^{2}

설명

위 정리의 (a)−(c)(a) - (c)를 만족하는 정규직교집합을 정규직교기저 혹은 완비 정규직교집합이라 부른다.

위의 세 조건을 잘 살펴보면 정규직교기저는 유한차원의 벡터공간에서 기저와 같은 역할을 한다는 것을 알 수 있다.

  • {ϕn}\left\{ \phi_{n} \right\}이 정규직교기저일 때 상수 ⟨f,ϕn⟩\left\langle f, \phi_{n}\right\rangle들을 (일반화된)푸리에 계수 라고 한다.

  • 급수 ∑⟨f,ϕn⟩ϕn\sum \left\langle f, \phi_{n}\right\rangle\phi_{n}을 (일반화된)푸리에 급수 라고 한다.

보조정리

f∈L2(a,b)f \in L^2(a,b)이고 {ϕn}\left\{ \phi_{n} \right\}가 L2(a,b)L^2(a,b)에서 정규직교집합이라고하자. 그러면 급수 ∑⟨f,ϕn⟩ϕn\sum \left\langle f,\phi_{n} \right\rangle\phi_{n}은 놈 센스에서 수렴한다. 그리고 다음과 같은 부등식을 만족한다.

∥∑⟨f,ϕn⟩ϕn∥≤∣f∣ \left\| \sum \left\langle f,\phi_{n}\right\rangle \phi_{n} \right\| \le | f|

증명

  • (a)  ⟹  (b)(a) \implies (b)

    (a)(a)를 가정하자. 그러면 보조정리에 의해서 ∑⟨f,ϕn⟩ϕn\sum \left\langle f, \phi_{n} \right\rangle\phi_{n}이 놈 센스에서 수렴한다. ff와 급수의 차이를 gg라고 정의하자.

    g=f−∑n=1∞⟨f,ϕn⟩ϕn g=f-\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left\langle f, \phi_{n} \right\rangle\phi_{n}

    그러면 g=0g=0임을 보일 수 있다.

    ⟨g,ϕm⟩= ⟨f,ϕm⟩−∑n=1∞⟨f,ϕn⟩⟨ϕn,ϕm⟩= ⟨f,ϕm⟩−⟨f,ϕm⟩= 0 \begin{align*} \left\langle g,\phi_{m} \right\rangle &=\ \left\langle f,\phi_{m}\right\rangle - \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left\langle f,\phi_{n} \right\rangle \left\langle \phi_{n}, \phi_{m} \right\rangle \\ &=\ \left\langle f,\phi_{m}\right\rangle - \left\langle f,\phi_{m}\right\rangle \\ &=\ 0 \end{align*}

    따라서 가정에 의해 g=0g=0이다. 그러므로 f=∑n=1∞⟨f,ϕn⟩ϕnf= \sum_{n=1}^\infty \left\langle f, \phi_{n} \right\rangle\phi_{n}

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  • (b)  ⟹  (c)(b) \implies (c)

    (b)(b)를 가정하자. 그러면 f=∑1∞⟨f,ϕn⟩ϕnf=\sum_{1}^\infty \left\langle f, \phi_{n}\right\rangle\phi_{n}이므로

    ∥f∥2= ∥∑n=1∞⟨f,ϕn⟩ϕn∥2=∥lim⁡N→∞∑n=1N⟨f,ϕn⟩ϕn∥2=lim⁡N→∞∥∑n=1N⟨f,ϕn⟩ϕn∥2=lim⁡N→∞∑n=1N∣⟨f,ϕn⟩∣2=∑n=1∞∣⟨f,ϕn⟩∣2 \begin{align*} \| f \|^2 &=\ \left\| \sum \limits_{n=1}^{\infty} \left\langle f, \phi_{n} \right\rangle \phi_{n} \right\| ^2 \\ &= \left\| \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \sum \limits_{n=1} ^{N} \left\langle f, \phi_{n} \right\rangle\phi_{n} \right\| ^2 \\ &= \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \left\| \sum \limits_{n=1} ^{N} \left\langle f, \phi_{n} \right\rangle\phi_{n} \right\| ^ 2 \\ &= \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \sum _{n=1}^{N} | \left\langle f,\phi_{n} \right\rangle |^2 \\ &= \sum \limits _{n=1} ^{\infty} | \left\langle f, \phi_{n} \right\rangle |^2 \end{align*}

세번째 등식은 가정에 의해 급수가 놈 센스에서 수렴하므로 성립한다. 네번째 등식은 피타고라스 정리에 의해 성립한다.

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  • (c)  ⟹  (a)(c) \implies (a)

    (c)(c)를 가정하자. 그러면

    ∥f∥2=∑n=1∞∣⟨f,ϕn⟩∣2 \| f \|^2 =\sum \limits _{n=1} ^{\infty}\left| \left\langle f,\phi_{n} \right\rangle \right|^{2}

    따라서 모든 nn에 대해서 ⟨f,ϕn⟩=0\left\langle f, \phi_{n} \right\rangle=0이면, f=0f=0이다.

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