L2 공간에서의 베셀 부등식
📂르벡공간 L2 공간에서의 베셀 부등식 정리 { ϕ n } n = 1 ∞ \left\{ \phi_{n} \right\}_{n=1}^{\infty} { ϕ n } n = 1 ∞ 가 L 2 ( a , b ) L^{2}(a,b) L 2 ( a , b ) 에서의 정규직교집합 이라고 하자. 그리고 f ∈ L 2 ( a , b ) f\in L^{2}(a,b) f ∈ L 2 ( a , b ) 라고 하자. 그러면 아래의 부등식이 성립한다.
∑ n = 1 ∞ ∣ ⟨ f , ϕ n ⟩ ∣ 2 ≤ ∥ f ∥ 2
\sum \limits_{n=1}^\infty \left| \left\langle f, \phi_{n} \right\rangle \right|^{2} \le \| f \|^{2}
n = 1 ∑ ∞ ∣ ⟨ f , ϕ n ⟩ ∣ 2 ≤ ∥ f ∥ 2
설명 이를 베셀 부등식 Bessel’s inequality 이라 한다.
L 2 L^2 L 2 공간
아래의 식을 만족하는 함수를 제곱적분가능 square-integrable$ 하다고 한다.
∫ a b ∣ f ( x ) ∣ 2 d x < ∞
\int_{a}^b |f(x)|^2 dx < \infty
∫ a b ∣ f ( x ) ∣ 2 d x < ∞
구간 [ a , b ] [a,b] [ a , b ] 에서 제곱적분가능한 함수들의 집합을 L 2 ( a , b ) L^2(a,b) L 2 ( a , b ) 이라 한다.
L 2 ( a , b ) : = { f ∣ ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ 2 d x < ∞ }
L^2(a,b) := \left\{ f\ \Bigg|\ \int_{a}^b |f(x)|^2 dx < \infty \right\}
L 2 ( a , b ) := { f ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ 2 d x < ∞ }
유한차원의 벡터공간 R n \mathbb{R}^n R n 을 생각해보자. { e 1 , ⋯ , e n } \left\{\mathbf{e}_{1},\ \cdots,\ \mathbf{e}_{n} \right\} { e 1 , ⋯ , e n } 를 기저라고 하면 임의의 a ∈ R n \mathbf{a} \in \mathbb{R}^n a ∈ R n 에 대해서 아래의 식은 자명하게 성립한다.
∑ 1 n ∣ ⟨ a , e i ⟩ ∣ 2 = ∣ a 1 ∣ 2 + ⋯ + ∣ a n ∣ 2 = ∣ a ∣ 2
\sum_{1}^n | \left\langle \mathbf{a}, \mathbf{e}_{i} \right\rangle |^2=|a_{1}|^2+\cdots+|a_{n}|^2=| \mathbf{a} |^2
1 ∑ n ∣ ⟨ a , e i ⟩ ∣ 2 = ∣ a 1 ∣ 2 + ⋯ + ∣ a n ∣ 2 = ∣ a ∣ 2
무한차원의 공간에 대해서도 위와 비슷한 얘기를 할 수 있다는 것이 베셀 부등식이 가지는 의미이다. 실제로 등식까지 성립 한다. 더 나아가 { ϕ n } 1 ∞ \left\{ \phi_{n} \right\}_{1}^\infty { ϕ n } 1 ∞ 에 유한차원에서 정의한 기저와 비슷한 역할을 주려고 한다. 즉, 아래와 같은 표현을 쓸 수 있는지, 가능하다면 어떤 조건에서 가능한지를 알고자한다.
f = ∑ 1 ∞ ⟨ f , ϕ n ⟩ ϕ n
f=\sum \limits_{1}^{\infty}\left\langle f,\phi_{n}\right\rangle\phi_{n}
f = 1 ∑ ∞ ⟨ f , ϕ n ⟩ ϕ n
한편 베셀 부등식은 힐베르트 공간으로의 일반화 가 가능하다.
증명 ⟨ f , ϕ n ⟩ \left\langle f,\phi_{n} \right\rangle ⟨ f , ϕ n ⟩ 은 스칼라임에 주의하라. 내적의 성질에 의해 ⟨ f , a g ⟩ = a ‾ ⟨ f , g ⟩ \left\langle f,ag \right\rangle = \overline{a}\left\langle f,g\right\rangle ⟨ f , a g ⟩ = a ⟨ f , g ⟩ 이므로
⟨ f , ⟨ f , ϕ n ⟩ ϕ n ⟩ = ⟨ f , ϕ n ⟩ ‾ ⟨ f , ϕ n ⟩ = ∣ ⟨ f , ϕ n ⟩ ∣ 2
\left\langle f, \left\langle f,\phi_{n} \right\rangle \phi_{n} \right\rangle=\overline {\left\langle f,\phi_{n} \right\rangle}\left\langle f,\phi_{n}\right\rangle = \left| \left\langle f,\phi_{n} \right\rangle \right|^{2}
⟨ f , ⟨ f , ϕ n ⟩ ϕ n ⟩ = ⟨ f , ϕ n ⟩ ⟨ f , ϕ n ⟩ = ∣ ⟨ f , ϕ n ⟩ ∣ 2
또한 피타고라스 정리 에 의해 아래의 식이 성립한다.
∥ ∑ 1 N ⟨ f , ϕ n ⟩ ϕ n ∥ 2 = ∑ 1 N ∥ ⟨ f , ϕ n ⟩ ϕ n ∥ 2 = ∑ 1 N ∣ ⟨ f , ϕ n ⟩ ∣ 2
\left\| \sum \limits_{1}^{N} \left\langle f,\phi_{n}\right\rangle \phi_{n} \right\|^2=\sum \limits_{1}^{N} \left\| \left\langle f,\phi_{n}\right\rangle \phi_{n} \right\|^2 = \sum \limits_{1}^{N} \left| \left\langle f,\phi_{n}\right\rangle \right|^2
1 ∑ N ⟨ f , ϕ n ⟩ ϕ n 2 = 1 ∑ N ∥ ⟨ f , ϕ n ⟩ ϕ n ∥ 2 = 1 ∑ N ∣ ⟨ f , ϕ n ⟩ ∣ 2
보조정리
a , b ∈ C n \mathbf{a},\ \mathbf{b}\in \mathbb{C}^n a , b ∈ C n 이라고 하자. 그러면
∥ a + b ∥ 2 = ∥ a ∥ 2 + 2 Re ⟨ a , b ⟩ + ∥ b ∥ 2
\left\| \mathbf{a} + \mathbf{b} \right\|^{2} = \left\| \mathbf{a} \right\|^{2} + 2\text{Re}\left\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \right\rangle + \left\| \mathbf{b} \right\|^{2}
∥ a + b ∥ 2 = ∥ a ∥ 2 + 2 Re ⟨ a , b ⟩ + ∥ b ∥ 2
따라서
0 ≤ ∥ f − ∑ 1 N ⟨ f , ϕ n ⟩ ϕ n ∥ 2 = ∥ f ∥ 2 − 2 Re ⟨ f , ∑ 1 N ⟨ f , ϕ n ⟩ ϕ n ⟩ + ∥ ∑ 1 N ⟨ f , ϕ n ⟩ ϕ n ∥ 2 = ∥ f ∥ 2 − 2 ∑ 1 N ∣ ⟨ f , ϕ n ⟩ ∣ 2 + ∑ 1 N ∣ ⟨ f , ϕ n ⟩ ∣ 2 = ∥ f ∥ 2 − ∑ 1 N ∣ ⟨ f , ϕ n ⟩ ∣ 2
\begin{align*}
0 \le& \left\| f- \sum \limits_{1}^{N} \left\langle f,\phi_{n}\right\rangle \phi_{n} \right\|^2
\\ =&\ \left\| f \right\|^{2} - 2\text{Re} \left\langle f,\ \sum \limits_{1}^{N} \left\langle f,\phi_{n}\right\rangle \phi_{n} \right\rangle + \left\| \sum \limits_{1}^{N} \left\langle f,\phi_{n}\right\rangle \phi_{n} \right\|^2
\\ =&\ \left\| f \right\|^{2} -2\sum \limits_{1}^{N} \left| \left\langle f, \phi_{n}\right\rangle \right|^2 + \sum \limits_{1}^{N} \left| \left\langle f,\phi_{n}\right\rangle \right|^2
\\ =&\ \left\| f \right\|^{2} -\sum \limits_{1}^{N} \left| \left\langle f,\phi_{n}\right\rangle \right|^2
\end{align*}
0 ≤ = = = f − 1 ∑ N ⟨ f , ϕ n ⟩ ϕ n 2 ∥ f ∥ 2 − 2 Re ⟨ f , 1 ∑ N ⟨ f , ϕ n ⟩ ϕ n ⟩ + 1 ∑ N ⟨ f , ϕ n ⟩ ϕ n 2 ∥ f ∥ 2 − 2 1 ∑ N ∣ ⟨ f , ϕ n ⟩ ∣ 2 + 1 ∑ N ∣ ⟨ f , ϕ n ⟩ ∣ 2 ∥ f ∥ 2 − 1 ∑ N ∣ ⟨ f , ϕ n ⟩ ∣ 2
두번째 등식에서 보조정리를, 세번째 등식에서 먼저 유도한 두 식을 사용했다. 따라서
∑ 1 N ∣ ⟨ f , ϕ n ⟩ ∣ 2 ≤ ∥ f ∥ 2
\sum \limits_{1}^{N} \left| \left\langle f,\phi_{n}\right\rangle \right|^2 \le \left\| f \right\|^{2}
1 ∑ N ∣ ⟨ f , ϕ n ⟩ ∣ 2 ≤ ∥ f ∥ 2
양변에 N → ∞ N \rightarrow \infty N → ∞ 인 극한을 취하면
∑ 1 ∞ ∣ ⟨ f , ϕ n ⟩ ∣ 2 ≤ ∥ f ∥ 2
\sum \limits_{1}^\infty | \left\langle f, \phi_{n} \right\rangle|^2 \le \left\| f \right\|^{2}
1 ∑ ∞ ∣ ⟨ f , ϕ n ⟩ ∣ 2 ≤ ∥ f ∥ 2
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