📂초함수론

모든 국소 적분 가능한 함수는 초함수로 확장 가능함을 증명

정리¹

모든 $u \in L_{\mathrm{loc} }^1(\Omega) $에 대응하여 다음과 같이 정의되는 초함수 $T_{u} \in D^{\ast}(\Omega)$가 존재한다.

$$ T_{u} (\phi) := \int_{\Omega} u(x)\phi (x)dx, \quad \phi \in D(\Omega) $$

설명

$\mathcal{D}(\Omega)$는 테스트 함수 공간이다. 위와 같이 정의되는 초함수를 정칙 초함수^{regular distribution}라 한다. 또한 위 식은 내적 공간의 관점에서 봤을 때 $u$와 $\phi$의 내적과 같으므로 아래와 같이 표기하기도 한다.

$$ T_{u}(\phi)=\langle u , \phi \rangle $$

위의 정리에 따라 국소 적분 가능한 함수를 초함수인 것처럼 다루어도 된다. 초함수를 일반화된 함수라고 부르기도 하는 것은 이러한 이유 때문이다.

증명

위와 같이 정의한 $T_{u}$가 초함수인지는 $\mathcal{D}$의 연속이고 선형인 범함수임을 보이는 것이다. 선형인 것은 적분으로 정의되었기 때문에 자명하고 연속성만 보이면 된다. 이때 연속이란 테스트 함수 공간에서의 수렴에 의한 연속임을 잊지 말자.

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$\phi_{j} \rightarrow \phi\ \ \mathrm{in}\ D(\Omega)$라고 가정하자. 그러면 $D$에서 수렴의 정의에 의해 다음과 같은 $K \Subset\Omega$가 존재한다.

$$ \mathrm{supp}(\phi_{j}-\phi) \subset K\quad \forall\ j $$

그러면 $u$가 국소 적분가능하므로 $M>0$에 대해서 아래의 식이 성립한다.

$$ \begin{align*} \left| T_{u}(\phi_{j})-T_{u}(\phi) \right| &= \left| \int_{K} u(x)\left( \phi_{j}(x) -\phi (x) \right) dx \right| \\ & \le \sup \limits_{x\in K} \left| \phi_{j} (x) - \phi (x) \right| \int_{K} |u(x)|dx \\ &\le \sup \limits_{x\in K} \left| \phi_{j} (x) - \phi (x) \right|M \end{align*} $$

이때 가정에 의해 $\phi_{j}(x) \rightrightarrows \phi (x)$이므로 다음이 성립한다.

$$ \sup \limits_{x\in K} \left| \phi_{j} (x) - \phi (x) \right|M \to 0 \quad \text{as } j \rightarrow \infty $$

그러므로 다음이 성립한다.

$$ T_{u}( \phi_{j} ) \rightarrow T_{u}(\phi) \quad \text{as } j \rightarrow \infty $$

따라서 $T_{u}$는 $\mathcal{D}$에서 연속이다.

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모든 초함수가 위와 같은 모양으로 생겼다면 다루기 쉽겠지만 아쉽게도 그렇지는 않다.