📂편미분방정식

비선형 1계 편미분 방정식의 특성 방정식

• x와 p에 대해서, 편미분방정식의 변수임을 강조할 때는 일반 글씨체 $x,p \in \mathbb{R}^{n}$으로 표기하고, $s$에 대한 함수임을 강조할 때는 굵은 글씨체 $\mathbf{x}, \mathbf{p} \in \mathbb{R}^{n}$으로 표기한다.

특성 메소드¹

열린 집합 $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$가 주어졌다고 하자. $u\in C^{2}(\Omega)$가 아래의 비선형 1계 편미분 방정식의 해라고 하자.

$$F(Du,\ u,\ x)=0$$

그리고 $\mathbf{x}, z, \mathbf{p}$를 다음과 같이 두자.

$$\begin{align*} \mathbf{x}(s) &=(x^{1}(s), \dots, x^{n}(s)) \in C^1(I;\Omega)\quad (s\in I \subset \mathbb{R}) \\ z(s) &= u(\mathbf{x}(s)) \\ \mathbf{p}(s) &= Du(\mathbf{x}(s)) \end{align*}$$

여기서 $\mathbf{x}$가 다음의 식을 만족한다고 가정하자.

$$\dot{\mathbf{x}}(s) = D_{p}F\big(\mathbf{p}(s), z(s), \mathbf{x}(s) \big)$$

그러면 $\mathbf{p}(s)$와 $z(s)$는 각각 다음의 상미분방정식의 해가 된다.

$$\begin{cases} \dot{\mathbf{p}} (s) = -D_{x}F\big(\mathbf{p}(s),\ z(s),\ \mathbf{x}(s) \big)-D_{z}F\big(\mathbf{p}(s),\ z(s),\ \mathbf{x}(s) \big)\mathbf{p}(s) \\ \dot{z}(s) = D_{p}F\big(\mathbf{p}(s),\ z(s),\ \mathbf{x}(s) \big) \cdot \mathbf{p}(s) \\ \dot{\mathbf{x}}(s) = D_{p}F\big(\mathbf{p}(s),\ z(s),\ \mathbf{x}(s) \big) \end{cases}$$

설명

특성 메소드^{method of characterisrics} 는 비선형 1계 편미분방정식을 푸는 방법 중 하나로, 하나의 편미분방정식을 연립 상미분방정식^{system of ODE}으로 나타내어 푸는 것이다.

유도

다음과 같은 비선형 1계 편미분 방정식이 주어졌다고 하자.

$$\begin{equation} F(Du, u, x) = 0 \label{eq1} \end{equation}$$

이때, $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$는 열린 집합이고, $F\in C^{\infty}(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R} \times \Omega)$라고 가정한다. 그리고 아래와 같은 경계 조건이 주어졌다고 하자.

$$\begin{equation} u=g \quad \text{ on } \Gamma \label{eq2} \end{equation}$$

특성 메소드의 아이디어는 주어진 경계 조건을 활용하여 고정된 $x\in\Omega$와 $x^0 \in \Gamma$를 잇는 $\Omega$안의 선을 찾는 것이다. 다시 말해 $u \in C^{2}$가 $\eqref{eq1}, \eqref{eq2}$를 만족하는 해라고 할 때, 다음 그림과 같은 선을 따라서 $u$의 값을 얻는 것이 목표이다.

그림에서의 선이 다음과 같은 함수로 표현된다고 하자.

$$\mathbf{x}(s)=\big( x^1(s),\ \cdots,\ x^n(s) \big), \quad s\in I\subset \mathbb{R}$$

$\mathbf{x}(0)=x^{0}$이라 두고, $\mathbf{x}$는 $s$가 증가함에 따라 $\Omega$ 내부로 선을 따라서 움직인다고 생각하자. $s$에 따른 $u$의 값을 $z$라는 함수로 나타내자.

$$\begin{equation} z(s):= u(\mathbf{x}(s)) \label{eq3} \end{equation}$$

비슷하게, $s$에 따른 $Du$의 값을 $\mathbf{p}$라고 하자.

$$\mathbf{p}(s) := Du(\mathbf{x}(s))$$

그러면 $\mathbf{p}(s)=(p^{1}(s), \dots, p^{n}(s))$이라할 때, 각 성분은 아래와 같다.

$$\begin{equation} p^i(s)=u_{x_{i}}( \mathbf{x}(s)) \label{eq4} \end{equation}$$

$s$에 대한 미분을 간단히 $\dfrac{d f}{ds} = \dot{f}$라고 표기하자. $dp^i(s)=u_{x_{i}x_{1}}dx^1+\cdots u_{x_{i}x_{n}}dx^n$이므로 $\dot{p}^i(s)$는 아래와 같다.

$$\begin{equation} \dot{p}^i(s)=\sum \limits_{j=1}^n u_{x_{i}x_{j}}( \mathbf{x}(s))\dot{x}^j(s) \label{eq5} \end{equation}$$

이때 $dF=F_{p_{1}}dp_{1}+\cdots F_{p_{n}}dp_{n}+F_{z}dz+F_{x_{1}}dx_{} + \cdots + F_{x_{n}}dx_{n}$이므로 $\eqref{eq1}$을 $x_{i}$에 대해서 미분하면 다음과 같다.

$$\sum \limits_{j=1}^n F_{p_{j}}\big( \mathbf{p}(s), z(s), \mathbf{x}(s) \big)p^j_{x_{i}}(s)+F_{z} \big( \mathbf{p}(s), z(s), \mathbf{x}(s) \big)z_{x_{i}}(s)+F_{x_{i}} \big( \mathbf{p}(s), z(s), \mathbf{x}(s) \big) = 0$$

이때 $\eqref{eq3}, \eqref{eq4}$에 의해서 $z_{x_{i}}=u_{x_{i}}=p^{i}$이고, $\eqref{eq4}$에 의해서 $p^{j}_{x_{i}}=u_{x_{j}x_{i}}$이므로, 이를 위 식에 대입하면 다음을 얻는다.

$$\begin{equation} \sum \limits_{j=1}^{n} F_{p_{j}}\big( \mathbf{p}(s), z(s), \mathbf{x}(s) \big)u_{x_{j}x_{i}}(\mathbf{x}(s))+F_{z}\big( \mathbf{p}(s), z(s), \mathbf{x}(s) \big) p^{i}(s)+F_{x_{i}}\big( \mathbf{p}(s), z(s), \mathbf{x}(s) \big) = 0 \label{eq6} \end{equation}$$

그런데 위 식을 보면 $\eqref{eq5}$ 때문에 $u_{x_{i}x_{j}}$라는 2계 미분항이 생겼다는 것을 알 수 있다. 1계 편미분방정식을 풀기 위해 2계 미분을 푼다는 것은 맞지 않으므로 이를 없애줄 필요가 있다. 이 작업을 위해서 $\dot{\mathbf{x}}$의 각 성분이 다음을 만족한다고 가정하자.

$$\begin{equation} \dot{x}^{j}(s)=F_{p_{j}}(\mathbf{p}(s), z(s), \mathbf{x}(s)), \quad \forall\ s\in I \subset \mathbb{R} \label{eq7} \end{equation}$$

$\eqref{eq6}$에 $\eqref{eq7}$을 대입하고 $\eqref{eq5}$를 이용하면 다음과 같은 식을 이끌어낼 수 있다.

$$\begin{equation} \dot{p}^{i} (s) = -F_{z} \big( \mathbf{p}(s), z(s), \mathbf{x}(s) \big)p^i(s)-F_{x_{i}} \big( \mathbf{p}(s), z(s), \mathbf{x}(s) \big), \quad \forall\ s\in I(i=1,\dots,n) \label{eq8} \end{equation}$$

또한 $\eqref{eq3}$을 $s$에 대해서 미분하면 다음과 같다.

$$\dot{z}(s)=\sum \limits_{j=1}^n u_{x_{j}}(\mathbf{x}(s))\dot{x}^j(s)$$

여기에 $\eqref{eq4} p^{i}=u_{x_{i}}$와 $\eqref{eq7} \dot{x}^{j} = F_{p_{j}}$을 대입하면 다음을 얻는다.

$$\begin{equation} \dot{z}(s)=\sum \limits_{j=1}^n p^j(s)F_{p_{j}}\big( \mathbf{p}(s),\ z(s),\ \mathbf{x}(s) \big), \quad s\in I \subset \mathbb{R}, \label{eq9} \end{equation}$$

이러한 과정으로 얻은 $\eqref{eq7}, \eqref{eq8}, \eqref{eq9}$를 아래와 같이 정리해서 묶어 $2n+1$개의 연립방정식으로 표현한 것을 특성 방정식^{characteristic equations}이라 한다. 또한 각각의 미지수 $\mathbf{p}(s), z(s), \mathbf{x}(s)$를 $\eqref{eq1}$의 특성^{characteristics, 지표}이라 한다.

$$\begin{cases} \dot{\mathbf{p}} (s) = -D_{x}F\big(\mathbf{p}(s),\ z(s),\ \mathbf{x}(s) \big)-D_{z}F\big(\mathbf{p}(s),\ z(s),\ \mathbf{x}(s) \big)\mathbf{p}(s) \\ \dot{z}(s) = D_{p}F\big(\mathbf{p}(s),\ z(s),\ \mathbf{x}(s) \big) \cdot \mathbf{p}(s) \\ \dot{\mathbf{x}}(s) = D_{p}F\big(\mathbf{p}(s),\ z(s),\ \mathbf{x}(s) \big) \end{cases}$$

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