📂통계적분석

계절형 아리마 모형

모델 ¹

1. $\nabla_{s} Y_{t} := Y_{t} - Y_{t-s}$ 와 같이 정의된 오퍼레이터 $\nabla_{s}$ 를 계절형 차분^{seasonal Difference}이라 한다.
2. $W_{t} := \nabla^{d} \nabla_{s}^{D} Y_{t}$ 와 같이 정의된 $\left\{ W_{t} \right\}_{t \in \mathbb{N}}$ 가 $ARMA(P,Q)$ 고 $\left\{ Y_{t} \right\}_{t \in \mathbb{N}}$ 이 $ARMA(p,q)$ 면 $\left\{ Y_{t} \right\}_{t \in \mathbb{N}}$ 는 계절형 아리마 과정 $ARIMA(p,d,q)\times(P,D,Q)_{s}$ 라고 한다. 이와 같은 꼴을 한 시계열 분석 모형을 계절형 아리마 모형이라 한다.

설명

오늘의 기온은 물론 어제의 기온에 가장 큰 영향을 받겠지만, 기본적으로 여름엔 덥고 겨울에 춥다. 유난히 추운 날, 유난히 따뜻한 겨울이 있을 수는 있어도 글로벌하게는 계절을 따라갈 수밖에 없다. 이렇듯 거시적인 주기를 가지고 돌아오는 성질을 계절성^seasonality이라 한다.

예로써 AirPassenger는 1949년부터 1960년까지 월별 항공기의 승객 수에 대한 데이터로, 휴가철인 여름에 피크를 찍고 차츰 줄어가는 패턴을 보인다. 해마다 많고 적고, 해가 갈수록 늘어가는 경향이 있기는 하지만 어쨌든 한 해 주기로는 전형적이라고 할 수 있을 정도의 뚜렷한 계절성이 나타난다.

물론 계절성이 정말 ‘계절’에 연관될 필요는 없으며, 요일에 따른 주간 추이든 하루를 단위로 돌아가는 일간 추이든 보드게임의 턴이든 계절성이라고 부를 수 있다. 순서가 있는 데이터면 결국 시계열 데이터로 볼 수야 있겠지만, 추상적으로 접근하면 사실 시간에 따른 성질일 필요도 없다.

계절형 아리마 과정의 정의는 무척 복잡해보이지만 그 개념만 보면 아리마 과정의 아리마 과정에 지나지 않는다. 수식적으로도 그냥 긴 차분이 생겨서 지저분하기만 할 뿐 어떤 우아한 통찰을 얻기는 어렵다. 그냥 ‘더 거대한 흐름이 있다’ 정도로 받아들여도 무방하다.