사인파와 복소 파동함수
정의
파동을 삼각함수로 표현한 것을 사인파sinusoidal wave라고 한다.
설명
사인파의 일반적인 꼴은 다음과 같다. 사인파라고 해놓고 수식이 $\cos$인 이유는, 아래에서 설명하겠지만 복소파동함수의 실수부가 $\cos$이기 때문이다. $\sin$은 허수부이다.
$$ f(x,t) = A \cos \big( k(x-vt)+\delta \big) $$
이때 $A$를 파동의 진폭amplitute, 코사인 함수의 변수 $k(z-vt)+\delta$를 위상phase, $\delta$를 위상상수phase constant라 한다. 위상상수에 $2\pi$를 더해도 $f(x,t)$는 변하지 않는다. 따라서 보통의 경우 위상상수로 $0\le \delta \lt 2\pi$의 범위의 값을 사용한다. $k$는 파수wave number이며 파장wavelength $\lambda$와는 다음과 같은 관계를 가진다.
$$ k=\dfrac{2\pi}{\lambda} $$
파동이 완전하게 한 번 순환하는 시간을 주기period라 한다. 시간=거리/속도이므로 파동의 주기 $T$는
$$ T=\dfrac{\lambda}{v} = \dfrac{2 \pi}{kv} $$
주기가 한 번 진동하는데 걸리는 시간이므로 단위시간동안 진동하는 횟수인 진동수frequency $\nu$는 당연히 주기의 역수와 같다.
$$ \nu=\dfrac{1}{T}=\dfrac{v}{\lambda} $$
각진동수angular frequency는 흔히 $\omega$로 표기하며 진동을 등속 원운동에 대응시켜 표현하는 것이다. 진동수를 단위시간동안 회전하는 각도로 바꾼 값이며 단위는 라디안이다.
$$ \omega=2\pi \nu=2\pi\dfrac{1}{T}=kv $$
$(1)$을 각진동수로 나타내서 쓰면
$$ f(x,t)=A \cos \big( kx-\omega t +\delta \big) $$
이는 파수가 $k$이고 각진동수가 $\omega$인 오른쪽으로 진행하는 파동함수이다.
위 그림처럼 $\dfrac{\delta}{k}$를 파동함수가 원점으로부터 뒤쳐진거리를 나타내는 것으로 정한다. 따라서 파동의 진행 방향이 바뀌면 위상상수의 부호도 바뀐다. 파동이 왼쪽으로 진행한다면 오른쪽으로 이동한 것이 뒤쳐진 것이기 때문이다. 즉, 파수가 $k$이고 각진동수가 $\omega$인 왼쪽으로진행하는 파동함수는 다음과 같다.
$$ f(x,t)=A \cos \big( kx+\omega t -\delta \big) $$
그런데 코사인 함수는 우함수이므로 위 식은 아래의 식과 같다. $$ f(x,t)=A \cos \big( -kx-\omega t +\delta \big) $$
이는 위에서 봤던 파수가 $k$이고 각진동수가 $\omega$인 오른쪽으로 진행하는 파동함수 $(2)$와 비교했을 때 파수 $k$의 부호만 다르다. 다시 말해 파수 $k$의 부호만 바꾸면 진폭, 위상상수, 진동수, 파장 등이 모두 같지만 진행 방향만 반대가 되는 파동이 됨을 알 수 있다.
복소 파동 함수
파동함수가 코사인으로 표현되므로 오일러 공식을 이용하여 복소 지수 함수의 꼴로도 나타낼 수 있다. 굳이 허수부를 확장해서 복소파동함수를 다루는 이유는, 복소함수가 코사인이나 사인보다 여러모로 계산에 편리하기 때문이다. $e^{ix}=\cos x +i\sin x$임을 사용하여 $(2)$를 표현하면
$$ f(x,t)=\text{Re}(Ae^{i(kx-\omega t +\delta)}) $$
이때 $\text{Re}(a+ib)=a$. 즉 실수 부분을 나타낸다. $f$는 $Ae^{i(kx-\omega t +\delta)}$의 실수 부분만 나타낸 함수이므로 $\tilde{f}=Ae^{i(kx-\omega t +\delta)}$라고 하자. 다시 말해 $\text{Re}(\tilde{f})=f$이다. 그러면 아래와 같이 간단하게 정리할 수 있다.
$$ \tilde{f}(x,t)=Ae^{i(kx-\omega t+\delta)}=Ae^{i\delta}e^{i(kx-\omega t)}=\tilde{A}e^{i(kx-\omega t)} $$
본 글에서 다루고 있는 파동함수 $f(x,t)$는 복소 파동 함수의 실수부분이다.
$$ f(x,t)=\text{Re}\big( \tilde{f}(x,t) \big) $$