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조화 함수의 스무싱 이펙트

정리

평균값 성질

$$\begin{align*} u(x) = -\!\!\!\!\!\! \int_{\partial B(x,r)} udS = -\!\!\!\!\!\! \int _{B(x,r)} udy \end{align*}$$

$u \in C(\Omega)$가 각각의 열린 볼 $B(x,r)\subset \Omega$에서 평균값 성질을 만족한다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$u \in C^{\infty}(\Omega)$$

설명

하모닉이면, 내부에서 매끄럽다는 말이다. 주의해야 할 점은 경계인 $\partial \Omega$에서는 매끄러움이나 연속성이 보장되지 않는다는 것이다.

증명

$\epsilon>0$이 주어졌다고 하자. $u$의 $\epsilon$-몰리피케이션은 다음과 같다.

$$u^\epsilon=\eta_\epsilon *u \in C^\infty(\Omega_{>\epsilon})$$

이때 $\Omega_{>\epsilon} := \left\{ x \in \Omega : \mathrm{dist}(x, \partial \Omega) > \epsilon \right\}$이다. 그리고 $x \in \Omega_{>\epsilon}$이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$\begin{align*} u^\epsilon (x) &= \int_\Omega \eta_\epsilon (x-y)u(y)dy \\ &= \dfrac{1}{\epsilon^n}\int_{\Omega} \eta \left( \frac{x-y}{\epsilon} \right) u(y)dy \\ &= \dfrac{1}{\epsilon^n}\int_{B(x,\epsilon)}\eta \left( \frac{|x-y|}{\epsilon} \right) u(y) dy \end{align*}$$ 세번째 등호는 몰리파이어 $\eta$의 정의에 따라 볼 밖에서는 값이 $0$이기 때문에 성립한다. 표면적분과 반지름에 대한 적분을 분리하면 다음과 같다.

$$\dfrac{1}{\epsilon^n} \int_{0}^\epsilon \eta \left( \frac{r}{\epsilon} \right) \left( \int _{\partial B(x,r)} udS \right) dr$$

평균값 성질을 이용하면 다음과 같다.

$$\begin{align*} &\quad \dfrac{1}{\epsilon^n} \int_{0}^\epsilon \eta \left( \frac{r}{\epsilon} \right) \left( \int _{\partial B(x,r)} udS \right) dr \\ &= \dfrac{1}{\epsilon^n} \int_{0}^\epsilon \eta \left( \frac{r}{\epsilon} \right) \left( \dfrac{n\alpha (n)r^{n-1}}{n\alpha (n)r^{n-1}}\int _{\partial B(x,r)}u dS \right) dr \\ &= \dfrac{1}{\epsilon^n} \int_{0}^\epsilon \eta \left( \frac{r}{\epsilon} \right) n\alpha (n)r^{n-1} -\!\!\!\!\!\! \int _{\partial B(x,r)}u(y) dS(y)dr \\ &= \dfrac{1}{\epsilon^n} \int_{0}^\epsilon \eta \left( \frac{r}{\epsilon} \right) n\alpha (n)r^{n-1} u(x) dr \\ &= \dfrac{1}{\epsilon^n}u(x) \int_{0}^\epsilon \eta \left( \frac{r}{\epsilon} \right) n\alpha (n)r^{n-1}dr \end{align*}$$

이때 $n\alpha (n)r^{n-1}$은 반지름이 $r$인 볼의 표면적이므로 위의 적분은 아래와 같이 바꿔 적을 수 있다.

$$\dfrac{1}{\epsilon^n}u(x) \int_{B(0,\epsilon)}\eta \left( \frac{r}{\epsilon} \right) dr=u(x) \int_{B(0,\epsilon)} \eta_\epsilon (y)dy=u(x)$$

마지막 등호는 $\eta_\epsilon$의 정의에 의해, 볼 $B(r,\epsilon)$ 안에서의 적분이 $1$이므로 성립한다. 따라서 모든 $\epsilon$에 대해서 $u=u^\epsilon \ \mathrm{in}\ \Omega_{>\epsilon}$이고 $u^\epsilon \in C^\infty(\Omega)$이므로, $u \in C^\infty (\Omega)$

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