📂힐베르트공간

유니터리 작용소

정의

힐베르트 공간 $H$와 유계 선형 작용소 $T : H \to H$가 전단사이고 다음을 만족하면 유니터리 작용소^{unitarty operator}라 한다.

$$ T^{\ast} = T^{-1} $$

$T^{\ast}$는 $T$의 수반 작용소, $T^{-1}$는 $T$의 역 작용소이다.

설명

정의의 조건을 다르게 표현하면 아래와 같다.

$$ TT^{\ast} = I = T^{\ast}T $$

$I$는 항등 작용소이다. 수반 작용소의 정의는 다음과 같다.

$$ \braket{T\mathbf{v}, \mathbf{w}} = \braket{\mathbf{v}, T^{\ast}\mathbf{w}} $$

수반 작용소의 수반 작용소는 다시 자기 자신이므로, 유니터리 작용소의 역 작용소 역시 유니터리이다.

$$ (T^{-1})^{\ast} = (T^{\ast})^{\ast} = T \implies T^{-1}(T^{-1})^{\ast} = I $$

유한차원에서는, 즉 행렬로 보면 $T^{\ast}$는 $T$의 켤레 전치행렬이며, $T^{\ast}T$는 단위 행렬이다. 즉 유니터리 작용소는 유니터리 행렬의 일반화이다.

성질¹

$H$를 힐베르트 공간, $U : H \to H$와 $V : H \to H$를 유니터리 작용소라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

(a) $U$가 유니터리인 것과 다음이 성립하는 것은 동치이다. $$ \braket{U \mathbf{v}, U \mathbf{w}} = \braket{\mathbf{v}, \mathbf{w}}, \quad \forall \mathbf{v}, \mathbf{w} \in H $$ (a-1) 유니터리 작용소는 등거리 사상^isometric이다. $$ \| U \mathbf{v} \| = \| \mathbf{v} \|, \quad \forall \mathbf{v} \in H $$

(a-2) $H \ne \{0\}$이면 $U$의 작용소 놈은 다음과 같다. $$ \| U \| = 1 $$

(b) $U^{-1}$도 유니터리이다.

(c) $UV = U \circ V$도 유니터리이다.

(d) $U$는 정규 작용소이다.

증명

(a)

$(\implies)$ $U$가 유니터리라고 하자. 그러면 수반 작용소의 정의에 의해 다음이 성립한다.

$$ \braket{U \mathbf{v}, U \mathbf{w}} = \braket{\mathbf{v}, U^{\ast}(U \mathbf{w})} = \braket{\mathbf{v}, I\mathbf{w}} = \braket{\mathbf{v}, \mathbf{w}} $$

■

$(\impliedby)$ 반대로, $\braket{U \mathbf{v}, U \mathbf{w}} = \braket{\mathbf{v}, \mathbf{w}}$가 성립한다고 하자. 또한 수반 작용소의 정의에 의해 다음이 성립한다.

$$ \braket{U \mathbf{v}, U \mathbf{w}} = \braket{\mathbf{v}, U^{\ast}(U \mathbf{w})} $$

그러면 다음을 얻는다.

$$ \braket{\mathbf{v}, \mathbf{w}} = \braket{\mathbf{v}, U^{\ast}(U \mathbf{w})} \implies \braket{\mathbf{v}, \mathbf{w}} - \braket{\mathbf{v}, U^{\ast}(U \mathbf{w})} = 0 $$

$$ \implies \braket{\mathbf{v}, \mathbf{w} - U^{\ast}(U \mathbf{w})} = 0, \quad \forall \mathbf{v}, \mathbf{w} \in H $$

영벡터의 성질

$$ \forall \mathbf{x}\in X,\ \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle = 0 \implies \mathbf{y}=\mathbf{0} $$

내적공간에서 영 벡터의 성질에 의해 아래가 성립한다.

$$ \mathbf{w} - U^{\ast}U \mathbf{w} = \mathbf{0} $$

따라서 다음이 성립한다.

$$ U^{\ast}U \mathbf{w} = \mathbf{w} \implies U^{\ast}U = I $$

■

(b)

$(U^{-1})^{\ast} = (U^{-1})^{-1}$임을 보이면 된다. $U$가 유니터리라는 가정과 수반 작용소의 성질에 의해 다음이 성립한다.

$$ (U^{-1})^{\ast} = (U^{\ast})^{\ast} = U = (U^{-1})^{-1} $$

■

(c)

증명1

$U$가 유니터리이므로, (a) 에 의해, 다음이 성립한다.

$$ \braket{U(V\mathbf{x}), U(V\mathbf{y})} = \braket{(V\mathbf{x}), (V\mathbf{y})}, \quad \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in H $$

$V$가 유니터리이므로 다음이 성립한다.

$$ \braket{V\mathbf{x}, V\mathbf{y}} = \braket{\mathbf{x}, \mathbf{y}}, \quad \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in H $$

따라서 다음이 성립하고, (a) 에 의해 $UV$는 유니터리이다.

$$ \braket{UV\mathbf{x}, UV\mathbf{y}} = \braket{\mathbf{x}, \mathbf{y}}, \quad \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in H $$

■

증명2

수반 작용소의 성질

$$ (UV)^{\ast} = V^{\ast}U^{\ast} $$

역 작용소의 성질

$$ (UV)^{-1} = V^{-1}U^{-1} $$

수반 작용소의 성질과 역 작용소의 성질에 의해서,

$$ (UV)^{\ast} = V^{\ast}U^{\ast} = V^{-1}U^{-1} = (UV)^{-1} $$

■