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몰리피케이션

정의¹

$f \in {L^1_{\mathrm{Loc}}( \Omega)}$와 $\epsilon>0$에 대해서 $f$의 $\epsilon$-몰리피케이션^{$\epsilon$ -mollification}을 다음과 같이 정의한다.

$$f^{\epsilon}(x) := \eta_{\epsilon} * f (x) =\int_{\mathbb{R}^{n}} \eta_{\epsilon}(x-y)f(y)dy, \quad x\in \Omega_{>\epsilon}$$

• 이때 $f$는 $\Omega$ 밖에서는 $0$로 정의된 함수이다.
• $\eta_\epsilon$는 몰리파이어이다.
• $\ast$는 합성곱이다.
• $\Omega_{>\epsilon} := \left\{ x \in \Omega : \mathrm{dist}(x, \partial \Omega) > \epsilon \right\}$

성질

• (i) $f^{\epsilon} \in C^\infty( \Omega_{>\epsilon})$
• (ii) 거의 어디에서나, $f^{\epsilon} \to f \text{ as } \epsilon \to 0$

증명

고정된 점 $x \in \Omega_{>\epsilon}$가 주어졌다고 하자. 그리고 $\Omega_{>\epsilon}$이 열린 집합이므로 $x+he_{i} \in \Omega_{>\epsilon}$을 만족하는 아주 작은 $h>0$가 가 존재한다. 그러면 어떤 열린집합 $V \Subset \Omega$에 대해서 다음이 성립한다.

$$\begin{align*} \dfrac{ f^{\epsilon} (x+he_{i})- f^{\epsilon}(x) }{ h} &= \int_\Omega \dfrac{\eta_\epsilon (x+he_{i}-y) - \eta_\epsilon (x-y) }{h} f(y) dy \\ &= \int_\Omega \dfrac{1}{\epsilon^n}\dfrac{1}{h}\left[ \eta \left( \frac{x+he_{i}-y}{\epsilon} \right) - \eta \left( \frac{x-y}{h} \right) \right] f(y) dy \\ &= \dfrac{1}{\epsilon^n}\int_{V} \dfrac{1}{h}\left[ \eta \left( \frac{x+he_{i}-y}{\epsilon} \right) - \eta \left( \frac{x-y}{h} \right) \right] f(y) dy \end{align*}$$

그리고 $y \in V$에 대해 다음이 성립한다.

$$\dfrac{1}{h}\left[ \eta \left( \dfrac{x+he_{i}-y}{\epsilon} \right) - \eta \left( \dfrac{x-y}{h} \right) \right] \to \dfrac{1}{\epsilon}\eta _{x_{i}}\left( \frac{x-y}{\epsilon} \right) \text{ uniformly as } h \to 0$$

따라서 $f^{\epsilon}_{x_{i}}(x)$가 존재하고 그 값은 다음과 같다.

$$\begin{align*} f^{\epsilon}_{x_{i}}(x) &= \dfrac{1}{\epsilon^n}\int _{V} \eta_{x_{i}}\left( \frac{x-y}{\epsilon} \right) f(y)dy \\ &= \int_{\Omega} (\eta_\epsilon)_{x_{i}}(x-y)f(y) dy \end{align*}$$

비슷한 방법으로, 각각의 멀티인덱스 $\alpha$에 대해 $D^\alpha f^{\epsilon}(x)$가 존재하고 그 값은 다음과 같다.

$$D^\alpha f^{\epsilon}(x) = \int_\Omega D^\alpha \eta_\epsilon (x-y)f(y)dy, \quad x \in \Omega_{>\epsilon}$$

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