파동의 경계조건 반사 투과
서로 다른 줄 2개가 묶여있다고 하자. 파동이 줄1을 따라서 왼쪽에서 오른쪽으로 전파되는 상황이라고 하자. 파동의 전파 속도는 질량과 관계가 있으므로 줄이 묶인 곳을 지나면서 파동의 속도가 달라진다. 편의상 매듭의 위치를 $x=0$라고 하고 파동이 왼쪽에서 들어온다고 하자. 그러면 입사파incident wave를 복소 파동 함수로 나타내면 아래와 같다.
$$ \tilde {f} _{\text{I}}(x,t) = \tilde{A}_{\text{I}} e^{i(k_{1}x-wt)},\quad x\lt 0 $$
입사파는 줄1을 따라 다시 되돌아가는 반사파reflected wave와 줄2를 따라 계속 진행하는 투과파transmitted wave를 만든다.
$$ \tilde {f} _{\text{R}}(x,t) = \tilde{A}_{\text{R}} e^{i(-k_{1}x-wt)},\quad x\lt 0 $$
$$ \tilde {f} _{\text{T}}(x,t) = \tilde{A}_{\text{T}} e^{i(k_{2}x-wt)},\quad x\gt 0 $$
여기에서 주의해야할 점은 줄의 질량에 따라 파동의 속도는 변하지만 진동수 $\omega$는 변하지 않는다는 것이다. 파원이 같이 때문에 줄의 모든 부분에서 진동수는 $\omega$이고 변하지 않는다. 하지만 두 줄에서 파동의 속도가 다르기 때문에 파장과 파수는 달라진다.
$$ \dfrac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}=\dfrac{\frac{2\pi}{k_{1}}}{\frac{2\pi}{k_{2}}}=\dfrac{k_{2}}{k_{1}}=\dfrac{v_{1}}{v_{2}} $$
$x\lt 0$인 영역에서는 입사파와 반사파가 모두 있으므로 줄의 알짜 변위를 다음과 같이 나타낸다.
$$ \tilde{f}(x,t) = \begin{cases} \tilde{A}_{\text{I}} e^{i(k_{1}x-wt)} + \tilde{A}_{\text{R}} e^{i(-k_{1}x-wt)} & x\lt 0 \\ \tilde{A}_{\text{T}} e^{i(k_{2}x-wt)} & x\gt 0 \end{cases} $$
당연하게도 줄이 매듭$(x=0)$에서 끊긴 것이 아니라면 아래의 식이 성립해야한다. $f$는 $x=0$에서 연속이어야 한다는 말이다.
$$ \lim \limits_{x \rightarrow 0^-} f(x,t) = \lim \limits_{x \rightarrow 0^+} f(x,t) $$
매듭의 질량을 무시할 수 있다면 $f$의 도함수도 $x=0$에서 연속이어야한다.
$$ \dfrac{\partial f}{\partial x} \Bigg|_{0^-} = \dfrac{\partial f}{\partial x} \Bigg|_{0^+} $$
그렇지 않으면 아래의 그림처럼 장력이 상쇄되지 않아서 매듭이 알짜힘을 받아 가속도가 계속해서 커지게 된다. 위의 경계조건은 실수 파동함수 $f(x,t)$에 적용된 것이지만 복소 파동함수 $\tilde{f}$에도 그대로 적용된다. $\tilde{f}$의 허수부분은 실수부분의 코사인이 사인으로 바뀐 것 밖에는 차이가 없기 때문이다.
$$ \lim \limits_{x \rightarrow 0^-} \tilde{f}(x,t) = \lim \limits_{x \rightarrow 0^+} \tilde{f}(x,t) \\ $$
$$ \dfrac{\partial \tilde{f}}{\partial x} \Bigg|_{0^-} = \dfrac{\partial \tilde{f}}{\partial x} \Bigg|_{0^+} $$
위 조건을 $(2)$에 적용하면 아래의 두 식을 얻을 수 있다.
$$ \tilde{A}_{I}+\tilde{A}_{R}=\tilde{A}_{T} \\ k_{1} (\tilde{A}_{I} -\tilde{A}_{R})=k_{2}\tilde{A}_{T} $$
두 식을 연립하여 반사파와 투과파를 입사파로 나타내면 $$ \tilde{A}_{R}=\dfrac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\tilde{A}_{I}, \quad \tilde{A}_{T}=\dfrac{2k_{1}}{k_{1}+k_{2}}\tilde{A}_{I} $$ 본문이 길어져 계산과정을 생략했으니 궁금하다면 글 최하단을 참고하라$^{\ast}$. 또한 파수와 속도의 관계 $(1)$를 위 식에 적용시키면 $$ \tilde{A}_{R}=\dfrac{v_{2}-v_{1}}{v_{2}+v_{1}}\tilde{A}_{I}, \quad \tilde{A}_{T}=\dfrac{2v_{2}}{v_{2}+v_{1}}\tilde{A}_{I} $$ 마찬가지로 계산 과정이 궁금하다면 글 하단을 참고하라$^{**}$. 따라서 실수 진폭과 위상의 관계는 다음과 같다. $$ A_{R}e^{i\delta_{R}}=\dfrac{v_{2}-v_{1}}{v_{2}+v_{1}}A_{I}e^{i\delta_{I}}, \quad A_{T}e^{i\delta_{T}}=\dfrac{2v_{2}}{v_{2}+v_{1}}A_{I}e^{i\delta_{I}} $$ 줄 2가 줄 1보다 가벼우면, $\mu_{2} <\mu_{1} \ \rightarrow v_{1} < v_{2} \left( \because v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\right) $이고 세 파동의 위상각이 모두 같다. $\delta_{I}=\delta_{R}=\delta_{T}$ 따라서 반사파와 투과파의 진폭은 $$ A_{R}=\dfrac{v_{2}-v_{1}}{v_{2}+v_{1}}A_{I}, \quad A_{T}=\dfrac{2v_{2}}{v_{2}+v_{1}}A_{I} $$ 줄 2가 줄 1보다 무거우면, $\mu_{1} <\mu_{2} \ \rightarrow v_{2} < v_{1} \left( \because v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\right) $이고 반사파의 위상은 $\pi$만큼 어긋난다. $\delta_{R}+\pi=\delta_{I}=\delta_{T}$. 그리고 $\cos(-k_{1}x-\omega t +\delta_{I} - \pi) =-\cos(-k_{1}x-\omega t +\delta_{I})$이므로 반사파와 투과파의 진폭은 $$ A_{R}=\dfrac{v_{1}-v_{2}}{v_{2}+v_{1}}A_{I}, \quad A_{T}=\dfrac{2v_{2}}{v_{2}+v_{1}}A_{I} $$ 특히나 줄 2가 줄 1에 비해 아주 무거우면(혹은 1의 끝이 고정되어 있으면) $v_{2} « v_{1}$이므로 반사파와 투과파의 진폭은 $$ A_{R}=A_{I}, \quad A_{T}=0 $$ 즉 투과파는 없고 모두 반사된다.
* $$ \tilde{A}_{I}+\tilde{A}_{R}=\tilde{A}_{T} \\ k_{1} (\tilde{A}_{I} -\tilde{A}_{R})=k_{2}\tilde{A}_{T} $$ 아래 식을 위 식에 대입하면 $$ \begin{array}{rc} & k_{2}(\tilde{A}_{I} + \tilde{A}_{R}) = k_{1}(\tilde{A}_{I} -\tilde{A}_{R}) \\ \implies & (k_{1}-k_{2})\tilde{A}_{I} = (k_{1}+k_{2})\tilde{A}_{R} \\ \implies &\tilde{A}_{R} = \dfrac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\tilde{A}_{I} \end{array} $$ 위 식을 아래 식에 대입하면 $$ \begin{array}{rc} & k_{1}(\tilde{A}_{I} + \tilde{A}_{I} -\tilde{A}_{T}) = k_{2}\tilde{A}_{T} \\ \implies & 2k_{1}\tilde{A}_{I} = (k_{1}+k_{2})\tilde{A}_{T} \\ \implies &\tilde{A}_{T} = \dfrac{2k_{1}}{k_{1}+k_{2}}\tilde{A}_{I} \end{array} $$ ** $$ \dfrac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}=\dfrac{\dfrac{k_{1}}{k_{2}}-1}{\dfrac{k_{1}}{k_{2}}+1}=\dfrac{\dfrac{v_{2}}{v_{1}}-1}{\dfrac{v_{2}}{v_{1}}+1}=\dfrac{v_{2}-v_{1}}{v_{2}+v_{1}} $$
$$ \dfrac{2k_{1}}{k_{1}+k_{2}}=\dfrac{2\dfrac{k_{1}}{k_{2}}}{\dfrac{k_{1}}{k_{2}}+1}=\dfrac{2\dfrac{v_{2}}{v_{1}}}{\dfrac{v_{2}}{v_{1}}+1}=\dfrac{2v_{2}}{v_{2}+v_{1}} $$