📂물리학

1차원 파동 방정식 유도

개요

1차원 파동 방정식^{wave equation}은 아래와 같다.

$$\dfrac{\partial ^{2} f }{\partial x^{2}} = \dfrac{1}{v^{2}}\dfrac{\partial ^{2} f}{\partial t^{2}}$$

이때 $v$는 파동의 전파 속력이다.

파동의 특징

위 그림 1과 같이 속력이 $v$로 일정한 파동이 있다고 하자. 시각 $t$에서 $x$점의 파동의 변위를 $f(x,t)$라고 하자. 처음 실의 변위를 $g(x)=f(x,0)$라고 할 때 그로부터 $t$초 후의 실의 변위가 어떻게 되는지 알고자 한다. 속력이 $v$이므로 $vt$만큼 평행이동한 것과 같고 이는 그림 2에 나타나있다. 따라서

$$\begin{equation} f(x,t)=f(x-vt,0)=g(x-vt) \end{equation}$$

위 식은 파동 함수는 두 변수 $x,\ t$가 결합된 $x-vt$만의 함수라는 것을 말해준다. 따라서 $f_{1}$, $f_2$, $f_{3}$은 파동을 나타내지만 $f_{4}$, $f_{5}$는 파동을 나타내지 않는다.

$$f_{1}=Ae^{-(x-vt)^{2}}, \quad f_2=A\sin\big( 2(x-vt) \big),\quad f_{3}=\dfrac{A}{(x-vt)^{2}-1} \\ f_{4}=Ae^{x(x-vt)},\quad f_{5}=A\cos(x) \cos(xvt)$$

유도

방법1 ¹

팽팽하게 당긴 줄의 운동을 살펴봄으로써 1차원에서의 파동 방정식을 이끌어 낼 수 있다. 줄이 평형 위치에서 벗어났을 때 $\Delta x$ 길이 만큼의 토막이 수직 방향으로 받는 힘을 장력 $T$로 나타내면

$$\Delta F=T\sin \theta^{\prime} - T\sin \theta$$

$\theta$가 충분히 작을 때 $\sin \theta \approx \tan \theta$이므로 위 식을 아래와 같이 쓸 수 있다.

$$\Delta F \approx T(\tan \theta^{\prime} -\tan \theta)$$

$\tan$는 기울기(미분)와 같으므로

$$\begin{equation} \begin{aligned} \Delta F \approx&\ T(\tan \theta^{\prime} -\tan \theta) \\ =&\ T \big[ f^{\prime}(x+\Delta x) -f^{\prime}(x) \big] \\ \approx&\ T\dfrac{\partial ^{2} f}{\partial x^{2}}\Delta x \quad \end{aligned} \end{equation}$$

줄의 단위길이당 질량을 $\mu$라고 하자. 그러면 뉴턴의 제 2법칙$(F=ma)$에 의해

$$\begin{equation} \begin{aligned} \Delta F =&\ m\Delta a \\ =&\ m \dfrac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} \\ =&\ \mu \Delta x \dfrac{\partial ^{2} f}{\partial t^{2}} \quad \end{aligned} \end{equation}$$

$(1)$과 $(2)$의해

$$\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\dfrac{\mu}{T} \dfrac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}}$$

$\sqrt{\frac{T}{\mu}}=v$라고 치환하면,

$$\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\dfrac{1}{v^{2}}\dfrac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}}$$

이를 1차원 파동 방정식이라 한다. 이 방정식의 해는 다음과 같은 꼴을 만족하여야 한다($t$로 두번 미분했을 때 $v^{2}$항이 생겨야하므로).

$$f(x,t)=g(x-vt)$$

이때 이러한 $v$는 위에서 논의했듯이 파동의 전파 속력을 나타낸다는 것을 알 수 있다.

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