📂동역학

다차원 비선형 맵

비선형 맵의 정의

1. 맵 $\mathbf{f} : \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{m}$ 이 선형이 아니면 비선형이라 한다.

빌드업 ¹

어떤 맵이 선형인지 보이는 것은 어렵지만 비선형임을 보이는 것은 쉽고, 선형 문제는 쉽지만 비선형 문제는 어렵다. 이 우주의 거의 모든 것은 비선형이며 비선형은 어렵기 때문에 인간들은 비선형을 선형으로 바꿀 궁리부터 한다.

위 그림에서 주어진 곡선은 분명 휘어있긴 하지만, 아주 작은 범위에서 보면 거의 직선이나 마찬가지임을 볼 수 있다. 조금의 오차를 무시하면 충분히 작은 범위 내에서 비선형은 선형이나 마찬가지다. 이 방법을 선형 맵에 적용시키면 비선형 맵 역시 선형 맵이나 마찬가지인 것으로 볼 수 있을 것이다.

테일러 근사로 보면 $f(x+h) \approx f(x) + h f '(x)$ 인데, $x$ 의 근방 $B(x; h)$ 에서 $f(x+h)$ 는 $h$ 에 대한 일차식으로 표현되는 것이다. 이를 다변수 함수로 확장시키려면 자코비안을 도입하면 된다. 이러한 아이디어 때문이라도 해석학의 발전은 필수불가결했다고 할 수 있다.

$\mathbf{f}$ 의 고정점 $\mathbf{p}$ 의 근방 $B \left( \mathbf{p} ; | \mathbf{h} | \right)$ 에서 $\mathbf{f}$ 가 선형성을 가질 정도로 작은 벡터 $\mathbf{h}$ 가 주어져 있다고 하면 $$\mathbf{f} ( \mathbf{p} + \mathbf{h} ) \approx \mathbf{f} ( \mathbf{p} ) + D \mathbf{f} ( \mathbb{ p} ) \cdot \mathbf{h} \\ \implies \mathbf{f} ( \mathbf{p} + \mathbf{h} ) - \mathbf{f} ( \mathbf{p} )\approx D \mathbf{f} ( \mathbb{ p} ) \cdot \mathbf{h}$$ $\mathbf{f}$ 가 선형성을 갖는다면 $\displaystyle \mathbf{f} ( \mathbf{p} + \mathbf{h} ) \approx \mathbf{f} ( \mathbf{p} ) + \mathbf{f} ( \mathbf{h} )$ 이므로 $$\mathbf{f} ( \mathbf{h} ) = D \mathbf{f} ( \mathbb{ p} ) \cdot \mathbf{h}$$ 다시 말해 $\mathbf{f}$ 는 $\mathbf{p}$ 근방의 $\mathbf{h} \in \mathbb{R}^{m}$ 을 $D \mathbf{f} ( \mathbb{ p} ) \cdot \mathbf{h} \in \mathbb{R}^{m}$ 으로 보내는 선형 맵 $T_{D \mathbf{f} ( \mathbb{ p} )} : \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{m}$ 인 것이다.

그렇다면 선형 맵 $T_{A}$ 에 대응되는 행렬 $A$ 의 아이겐 밸류로 다이내믹 시스템에 대한 이야기를 했던 것처럼, 비선형 맵 $\mathbf{f}$ 의 고정점 $\mathbf{p}$ 에 대해서는 그에 대응하는 $$D \mathbf{f} ( \mathbb{ p} ) = \begin{bmatrix} {{\partial f_{1} } \over {\partial x_{1} }} ( \mathbb{ p} ) & \cdots & {{\partial f_{1} } \over {\partial x_{n} }} ( \mathbb{ p} ) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {{\partial f_{m} } \over {\partial x_{1} }} ( \mathbb{ p} ) & \cdots & {{\partial f_{m} } \over {\partial x_{n} }} ( \mathbb{ p} ) \end{bmatrix}$$ 으로 같은 논의를 이어나가면 될 것이다.

비선형 맵에서 하이퍼볼릭과 새들의 정의

$D \mathbf{f} ( \mathbf{p})$ 의 아이겐 밸류들을 $\lambda_{1} , \cdots , \lambda_{m}$ 이라고 하자. 2. $| \lambda_{1} | \ne 1, \cdots , | \lambda_{m} | \ne 1$ 이면 $\mathbf{p}$ 가 하이퍼볼릭^hyperbolic하다고 한다. 3. 하이퍼볼릭 $\mathbf{p}$ 에 대해 $\begin{cases} | \lambda_{i} | >1 \\ | \lambda_{j} | <1 \end{cases}$ 를 만족하는 $i,j$ 가 적어도 하나씩 존재하면 $\mathbf{p}$ 가 새들^saddle이라 한다.

새들이 아닐 때의 판정법

$\mathbf{p}$ 가 새들이 아닐 땐 다음의 정리에 따라 싱크거나 소스임을 판정할 수 있다.

• [1]: $| \lambda_{1} | < 1, \cdots , | \lambda_{m} | < 1$ 이면 $\mathbf{p}$ 는 싱크다.
• [2]: $| \lambda_{1} | > 1, \cdots , | \lambda_{m} | > 1$ 이면 $\mathbf{p}$ 는 소스다.