📂집합론

집합의 분할

정의 ¹

집합 $X$ 의 모든 부분집합 $A,B,C$ 에 대해 다음의 조건을 만족하는 $\mathscr{P} \subset 2^{X}$ 를 $X$ 의 분할이라 한다.

• (i): $$A,B \in \mathscr{P} \land A \ne B \implies A \cap B = \emptyset$$
• (ii): $$\bigcup_{C \in \mathscr{P} } C = X$$

설명

수식으로 나타내니까 복잡해 보이지만 간단히 말하자면 그냥 전체집합을 빠짐 없이 여러 조각으로 나누는 것에 불과하다. 수식적인 정의에 매달릴 여유가 있다면 차라리 $X$ 의 분할 $\mathscr{P}$ 가 $X$ 의 멱집합 $2^{X} = \mathscr{P} (X)$ 의 부분집합이라는 식의 디테일에 신경쓰는게 좋다.

간단한 예시로써 정수집합 $\mathbb{Z}$ 을 생각해보자. 짝수의 집합 $2 \mathbb{Z} = \left\{ \cdots , -2 , 0 , 2 , \cdots \right\}$ 와 홀수의 집합 $1 + 2 \mathbb{Z} = \left\{ \cdots , -3 , -1 , 1 , 3 , \cdots \right\}$ 을 포함하는 $\mathscr{P} = \left\{ 2 \mathbb{Z} , 1 + 2 \mathbb{Z} \right\}$ 은 $\mathbb{Z}$ 의 분할이 된다. 여기서 $\mathscr{P} \subset 2^{\mathbb{Z}}$ 는 $\mathbb{Z}$ 의 부분 집합을 원소로 갖는 집합이며, 원소의 갯수는 $2$ 개다. 무엇이 어디에 속하는지, 원소인지 집합인지 대충 넘기지 말고 정확하게 정의에 따라 알아두는 연습을 해두는 게 좋다.