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푸아송 방정식에 대한 디리클레 문제의 해의 유일성

정리¹

$\Omega \subset \mathbb{R}^n$이 열려있고 유계라고 하자. 그리고 $g \in C(\partial \Omega)$, $f \in C(\Omega)$라고 하자. 그러면 아래와 같은 푸아송방정식의 디리클레 문제에서, 솔루션 $u \in C^2(\Omega) \cap C(\bar{\Omega})$는 존재하면 유일하다(=많아봤자 1개 존재한다).

$$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} -\Delta u &= f && \text{in } \Omega \\ u &= g && \text{on }\partial \Omega \end{aligned} \right. \label{eq1} \end{equation} $$

증명

두 함수 $u,\ \tilde{u} \in C^2(\Omega) \cap C(\bar{\Omega})$가 $\eqref{eq1}$을 만족한다고 하자. 그리고 함수 $w :=u-\tilde{u}$를 정의하자. 그러면 $\Omega$에서 $\Delta w=\Delta u- \Delta \tilde{u}=f-f=0$이므로 $w$는 $\Omega$에서 하모닉이다.

조화함수의 최대 원리

조화함수 $u$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ \max \limits_{\bar{\Omega}} u = \max \limits_{\partial \Omega} u \quad \left( \mathrm{or} \quad \min \limits_{\bar{\Omega}} u= \min \limits_{\partial \Omega} u \right) $$

그러면 최대원리에 의해서 다음이 성립한다.

$$ \max \limits_{\bar{\Omega}} w = \max \limits_{\partial \Omega} w $$

그런데 주어진 경계조건에 의해 $w=g-g=0 \text{ in } \partial \Omega$ 이므로 다음을 얻는다.

$$ \max \limits_{\bar{\Omega}} w = \max \limits_{\partial \Omega} w=0 $$

같은 논리로 다음을 얻는다.

$$ \min \limits_{\bar{\Omega}} w = \min \limits_{\partial \Omega} w =0 $$

따라서 $\bar{\Omega}$에서 $w=u-\tilde{u}=0$이므로,

$$ u=\tilde{u} \text{ in } \bar{\Omega} $$

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