📂편미분방정식

조화함수의 최대원리

정리¹

$\Omega \subset \mathbb{R}^n$가 열려있고 유계라고 하자. 그리고$u : \Omega \to \mathbb{R}$가 $u \in C^2(\Omega) \cap C(\bar \Omega)$이고 라플라스 방정식을 만족한다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

• (i) 최대 원리^{maximum principle}

  $$ \max \limits_{\bar \Omega} u = \max \limits_{\partial \Omega} u \quad \left( \mathrm{or} \ \ \min \limits_{\bar \Omega} u= \min \limits_{\partial \Omega} u \right) $$

• (ii) 강한 최대원리^{strong maximum principle}

  $\Omega$가 연결공간이고 $$ u(x_{0})=\max \limits_{\bar \Omega} u \left( \mathrm{or}\ \ u(x_{0})=\min \limits_{\bar \Omega} \right) $$ 를 만족하는 $x_{0} \in \Omega$가 존재한다고 하자. 그러면 $u$는 $\Omega$에서 다음과 같은 상수함수이다. $$ u(x) = M = \max_{\bar{\Omega}} u,\quad x\in \Omega $$

(i)은 경계에서의 최댓값(최솟값)과 경계를 포함한 모든 곳에서의 최댓값(최솟값)이 같음을 말한다.

(ii)에서 $u$의 함숫값이 상수인 부분은 $\Omega$로, 경계 $\partial \Omega$에서는 성립하지않는다는 점을 주의하라.

증명

(ii)

$M=u(x_{0})=\max \limits_{\bar \Omega} u$라고 하자. 그리고 $V \subset \Omega$를 다음과 같이 정의하자.

$$ V := \left\{ x\in\Omega | u(x)=M \right\} $$

그러면 $x_{0} \in V$이기 때문에 $V \ne \varnothing$이다. 또한 $\left\{ M \right\}^c=(-\infty, M)\cup (M,\infty)$가 열려있으므로 $\left\{ M \right\}$는 닫혀있고, 따라서 $u^{-1}(\left\{M\right\})=V$는 $\Omega$에서 닫혀있다. 이제 임의의 $y \in V$에 대해서 $d_{y}$를 다음과 같이 두자.

$$ d_{y} :=\mathrm{dist} (y,\partial \Omega)=\inf \limits_{ x \in \Omega} |y-x|>0 $$

그러면 조화함수의 평균값 정리에 의해 $0<r<d_{y}$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ u(y)=-\!\!\!\!\!\! \int _{B(y,r)} u(x)dx \le M $$

최댓값이 $M$이므로 평균은 $M$보다 작거나 같아야한다. 그리고 사실은 $y \in V$이므로 다음과 같이 등식이 성립한다.

$$ u(y)=-\!\!\!\!\!\! \int _{B(y,r)} u(x)dx = M $$

최댓값이 $M$인 곳에서의 평균이 $M$이려면, 모든 $0<r<d_{y}$에 대한 $B(y,r)$에서 $u=M$이다. 단 한 곳에서라도 함숫값이 $M$보다 작으면 반드시 그 평균이 $M$보다 작기 때문이다. 따라서 $V$는 $\Omega$에서 열려있고 정의에 의해 다음이 성립한다.

$$ B(y,r) \subset V \quad \forall r\in(0,d_{y}) $$

따라서 $V$는 $\Omega$에서 열려있으면서 동시에 닫혀있다. $\Omega$가 연결된 공간이 되기 위한 필요충분 조건은 $\Omega$의 부분집합 중 열려있으면서 동시에 닫혀있는 집합은 $\emptyset$ 혹은 $\Omega$ 뿐인 것이고 $V \ne \emptyset$이기 때문에 $V=\Omega$이다. 따라서 다음이 성립한다.

$$ M=u(x) \quad \forall x \in \Omega $$

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최솟값에 대해서도 비슷한 방법으로 증명할 수 있다.

(i)

$u$가 컴팩트 집합 $\bar \Omega$에서 연속이므로 최댓값(최솟값) $x_{0} \in \bar{\Omega}$가 존재한다.

$$ u(x_{0})=\max \limits_{\bar \Omega} u \quad \left( \mathrm{or} \ \ u(x_{0})=\min \limits_{\bar \Omega} u\right) $$

이제 $x_{0}$가 경계에 있는 경우, 내부에 있는 경우를 나눠서 생각해보자.

• case 1. $x_{0} \in \partial \Omega$

  자명하게 다음이 성립한다.

  $$ \max \limits_{\partial \Omega} = \max \limits_{\bar \Omega} $$

• Case 2. $x_{0} \in \Omega$

  $\Omega_{0} \subset \Omega$가 $x_{0}$를 포함하는 연결 성분^{connected component}라고 하자. 즉 $\Omega_{0}$는 $\Omega$를 구성하는 $\mathrm{countable\ union\ oped\ set}$이다. 그러면 $\Omega_{0}$는 열려있고, 연결돼있다. 그리고 $\partial \Omega_{0} \subset \partial \Omega$이다. (ii)를 $\Omega_{0}$에 적용하면 다음을 얻는다.

  $$ u=u(x_{0})=\max \limits_{\bar \Omega_{0}} u $$

  그러면 Part 1. 에 의해 다음이 성립한다.

  $$ u(x_{0})=\max \limits_{\partial \Omega_{0}} u \le \max \limits_{\partial \Omega} u \le \max \limits_{\bar \Omega}u=u(x_{0}) $$

  따라서 다음을 얻는다.

  $$ \max \limits_{\partial \Omega} u = \max \limits_{\bar \Omega}u $$

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최솟값에 대해서도 비슷한 방법으로 증명할 수 있다.