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조화함수의 최대원리 📂편미분방정식

조화함수의 최대원리

정리1

Ω⊂Rn\Omega \subset \mathbb{R}^n가 열려있고 유계라고 하자. 그리고u:Ω→Ru : \Omega \to \mathbb{R}가 u∈C2(Ω)∩C(Ωˉ)u \in C^2(\Omega) \cap C(\bar \Omega)이고 라플라스 방정식을 만족한다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

  • (i) 최대 원리maximum principle

    max⁡Ωˉu=max⁡∂Ωu(or  min⁡Ωˉu=min⁡∂Ωu) \max \limits_{\bar \Omega} u = \max \limits_{\partial \Omega} u \quad \left( \mathrm{or} \ \ \min \limits_{\bar \Omega} u= \min \limits_{\partial \Omega} u \right)

  • (ii) 강한 최대원리strong maximum principle

    Ω\Omega가 연결공간이고 u(x0)=max⁡Ωˉu(or  u(x0)=min⁡Ωˉ) u(x_{0})=\max \limits_{\bar \Omega} u \left( \mathrm{or}\ \ u(x_{0})=\min \limits_{\bar \Omega} \right) 를 만족하는 x0∈Ωx_{0} \in \Omega가 존재한다고 하자. 그러면 uu는 Ω\Omega에서 다음과 같은 상수함수이다. u(x)=M=max⁡Ωˉu,x∈Ω u(x) = M = \max_{\bar{\Omega}} u,\quad x\in \Omega

(i)은 경계에서의 최댓값(최솟값)과 경계를 포함한 모든 곳에서의 최댓값(최솟값)이 같음을 말한다.

(ii)에서 uu의 함숫값이 상수인 부분은 Ω\Omega로, 경계 ∂Ω\partial \Omega에서는 성립하지않는다는 점을 주의하라.

증명

(ii)

M=u(x0)=max⁡ΩˉuM=u(x_{0})=\max \limits_{\bar \Omega} u라고 하자. 그리고 V⊂ΩV \subset \Omega를 다음과 같이 정의하자.

V:={x∈Ω∣u(x)=M} V := \left\{ x\in\Omega | u(x)=M \right\}

그러면 x0∈Vx_{0} \in V이기 때문에 V≠∅V \ne \varnothing이다. 또한 {M}c=(−∞,M)∪(M,∞)\left\{ M \right\}^c=(-\infty, M)\cup (M,\infty)가 열려있으므로 {M}\left\{ M \right\}는 닫혀있고, 따라서 u−1({M})=Vu^{-1}(\left\{M\right\})=V는 Ω\Omega에서 닫혀있다. 이제 임의의 y∈Vy \in V에 대해서 dyd_{y}를 다음과 같이 두자.

dy:=dist(y,∂Ω)=inf⁡x∈Ω∣y−x∣>0 d_{y} :=\mathrm{dist} (y,\partial \Omega)=\inf \limits_{ x \in \Omega} |y-x|>0

그러면 조화함수의 평균값 정리에 의해 0<r<dy0<r<d_{y}에 대해서 다음이 성립한다.

u(y)=− ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣∫B(y,r)u(x)dx≤M u(y)=-\!\!\!\!\!\! \int _{B(y,r)} u(x)dx \le M

최댓값이 MM이므로 평균은 MM보다 작거나 같아야한다. 그리고 사실은 y∈Vy \in V이므로 다음과 같이 등식이 성립한다.

u(y)=− ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣∫B(y,r)u(x)dx=M u(y)=-\!\!\!\!\!\! \int _{B(y,r)} u(x)dx = M

최댓값이 MM인 곳에서의 평균이 MM이려면, 모든 0<r<dy0<r<d_{y}에 대한 B(y,r)B(y,r)에서 u=Mu=M이다. 단 한 곳에서라도 함숫값이 MM보다 작으면 반드시 그 평균이 MM보다 작기 때문이다. 따라서 VV는 Ω\Omega에서 열려있고 정의에 의해 다음이 성립한다.

B(y,r)⊂V∀r∈(0,dy) B(y,r) \subset V \quad \forall r\in(0,d_{y})

따라서 VV는 Ω\Omega에서 열려있으면서 동시에 닫혀있다. Ω\Omega가 연결된 공간이 되기 위한 필요충분 조건은 Ω\Omega의 부분집합 중 열려있으면서 동시에 닫혀있는 집합은 ∅\emptyset 혹은 Ω\Omega 뿐인 것이고 V≠∅V \ne \emptyset이기 때문에 V=ΩV=\Omega이다. 따라서 다음이 성립한다.

M=u(x)∀x∈Ω M=u(x) \quad \forall x \in \Omega

■

최솟값에 대해서도 비슷한 방법으로 증명할 수 있다.

(i)

uu가 컴팩트 집합 Ωˉ\bar \Omega에서 연속이므로 최댓값(최솟값) x0∈Ωˉx_{0} \in \bar{\Omega}가 존재한다.

u(x0)=max⁡Ωˉu(or  u(x0)=min⁡Ωˉu) u(x_{0})=\max \limits_{\bar \Omega} u \quad \left( \mathrm{or} \ \ u(x_{0})=\min \limits_{\bar \Omega} u\right)

이제 x0x_{0}가 경계에 있는 경우, 내부에 있는 경우를 나눠서 생각해보자.

  • case 1. x0∈∂Ωx_{0} \in \partial \Omega

    자명하게 다음이 성립한다.

    max⁡∂Ω=max⁡Ωˉ \max \limits_{\partial \Omega} = \max \limits_{\bar \Omega}

  • Case 2. x0∈Ωx_{0} \in \Omega

    Ω0⊂Ω\Omega_{0} \subset \Omega가 x0x_{0}를 포함하는 연결 성분connected component라고 하자. 즉 Ω0\Omega_{0}는 Ω\Omega를 구성하는 countable union oped set\mathrm{countable\ union\ oped\ set}이다. 그러면 Ω0\Omega_{0}는 열려있고, 연결돼있다. 그리고 ∂Ω0⊂∂Ω\partial \Omega_{0} \subset \partial \Omega이다. (ii)를 Ω0\Omega_{0}에 적용하면 다음을 얻는다.

    u=u(x0)=max⁡Ωˉ0u u=u(x_{0})=\max \limits_{\bar \Omega_{0}} u

    그러면 Part 1. 에 의해 다음이 성립한다.

    u(x0)=max⁡∂Ω0u≤max⁡∂Ωu≤max⁡Ωˉu=u(x0) u(x_{0})=\max \limits_{\partial \Omega_{0}} u \le \max \limits_{\partial \Omega} u \le \max \limits_{\bar \Omega}u=u(x_{0})

    따라서 다음을 얻는다.

    max⁡∂Ωu=max⁡Ωˉu \max \limits_{\partial \Omega} u = \max \limits_{\bar \Omega}u

■

최솟값에 대해서도 비슷한 방법으로 증명할 수 있다.

  1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations (2nd Edition, 2010), p27 ↩︎