물리학에서 텐서란
개요
단언컨대 텐서에 대한 가장 쉬운 설명글이니 도대체 텐서가 뭔지 몰라서 찾아 들어온 물리학과 학부생이라면 꼭 읽기를 권한다.
수학적으로 틀린 부분에 대한 지적은 받지 않는다. 음수를 배우지 않은 사람에게 ‘작은 수에서 큰 수를 뺄 수는 없다’, 허수를 배우지 않은 사람에게 ‘루트 안에 음수는 들어갈 수 없다’와 같이 가르치는 것이 틀린 내용을 가르치는게 아니기 때문이다. 이 글의 목적은 텐서의 정의를 정확하게 가르쳐주는 것이 아니라 텐서를 이해하기 위해서 불필요하게 시간을 낭비하지 않도록 하는 것이다.
물리학을 배우면서 학년이 올라가면 텐서tensor 라는 것을 접하게 된다. 글쓴이 기억에 가장 처음 본 텐서는 역학에서 나온 관성모멘트 텐서moment of interia tensor이다.
$$ \mathbf{I} =\overleftrightarrow{\mathbf{I}}= \begin{pmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} &I_{zz} \end{pmatrix} $$
당시에 학부 2학년이었던 나는 이게 뭔지 이해하는 것이 불가능했다. 여러 책을 찾아보거나 인터넷으로 검색을 해도 텐서가 무엇인지 알기 어려웠다1. 텐서라는 개념을 정학하게 이해하기에 필요한 지식이 부족했는데도 불구하고 억지로 이해하려고 했기 때문이었다. 나는 물리에 관심이 있었던 만큼이나 수학에도 관심이 있었기에 텐서의 정확한 정의나 의미가 뭔지도 모르고 사용하거나 받아들일 수 없었다. 하지만 분명하게도 이는 물리를 공부하는데 있어서 좋은 태도는 아니다.
텐서의 수학적인 정의를 받아들여 이해할 수도 있겠지만 그러려면 선형대수학에 대한 깊은 지식이 필요하다2. 이는 학부 물리학을 공부하는데 필요한 수학을 훨씬 넘어선다. 수학을 공부하는 것은 물리학을 공부하는 데에 큰 도움이 되지만 이 경우는 너무 과하다는 말이다. 텐서를 수학적으로 이해하려들다가는 역학 중간고사를 망치게 될 것이다. 따라서 물리학과 학부생은 텐서가 어떤 것인지 ‘느낌으로’ 아는 것이 중요하다. 여러가지 예를 보면서 왜 필요하고, 어떻게, 어떨 때 사용하는지를 익히는 것으로 충분하다. 물리의 많은 부분에서 수학을 대충 쓰고 있지만, 그렇게 하는 이유는 수학적인 엄밀함이 보장돼있기 때문이다. 텐서 역시 그런 엄밀함이 보장되어 있으니 학부 수준의 물리를 공부하는 사람은 그런 엄밀함을 쫓을 필요가 없다.
텐서라는 개념은 스칼라와 벡터만으로 나타낼 수 없는 물리량이 존재하기 때문에 탄생했다고 생각하면 된다. 사실상 텐서만 있으면 모든 물리량을 표현할 수 있기 때문에 텐서는 스칼라와 벡터까지 포함하는 일반적인 개념이다. 그러니까 스칼라와 벡터라는 표현을 쓰지 않고 텐서만 써도 된다. 하지만 그렇게 하는 것은 비효율적이고 물리를 처음 배울 때 조금도 도움이 되지 않기 때문에 스칼라, 벡터인 텐서는 굳이 텐서라고 부르지 않는다. 학부 물리학에서는 흔히 $3\times 3$ 행렬로 표현되는 것을 텐서라 말한다. 아래의 글을 정독하기 싫거나 읽어도 모르겠다면 ‘3x3 행렬을 텐서라고 부르는가보다’라고 생각해도 상관은 없다. 학부과정에 한해서는 틀린 설명이 아니기 때문이다.
텐서의 구분
일반적으로 $(m,n)$-텐서 혹은 $\binom{m}{n}$텐서라고 표기한다. 여기서 $m$은 공간의 차원을 뜻하고 $n$은 텐서의 성분에 붙는 아래첨자의 수라고 생각하면 된다. 이 때 텐서의 성분의 수는 $m^{n}$개다. 상대론을 제외한 대부분의 물리에서는 3차원 공간을 다루니 항상 $m=3$이다. 따라서 굳이 $m$이 몇인지 얘기하지 않고 $n$의 값에 따라서 텐서를 $0$차 텐서, $1$차 텐서 등으로 구분하기도 한다.
$0$차 텐서=스칼라
$0$차 텐서는 $\binom{3}{0}$텐서를 의미하고 이는 스칼라와 같다. $0$차 텐서의 대표적인 예로 질량 이 있다. 3차원 공간에서 질량은 단순히 $m$으로 표기하니 아래첨자가 0개이고 따라서 $0$차 텐서이다. 하지만 굳이 텐서라는 표현을 쓰지 않고 스칼라라고 한다. 성분의 수는 $3^0=1$개.
$1$차 텐서=벡터
$1$차 텐서는 $\binom{3}{1}$텐서를 의미하고 이는 벡터와 같다. $1$차 텐서의 대표적인 예로 속도가 있다. 3차원 공간에서 속도는 $\mathbf{v}=(v_{x},v_{y},v_{z})$로 표기하는데 성분에 붙은 아래첨자의 수가 1개이므로 $1$차 텐서이다. 하지만 굳이 텐서라는 표현을 쓰지 않고 벡터 라고 한다. 성분의 수는 $3^1=3$개
$2$차 텐서
$2$차 텐서는 $\binom{3}{2}$텐서를 의미한다. 아래와 같은 $3 \times 3$ 행렬 을 생각해보자.
$$ A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} $$
행렬의 성분은 $a_{ij}$로 나타내고, 아래첨자의 수가 2개이므로 $2$차 텐서이다. 보통 학부 물리학 교재에서는 $3 \times 3$ 행렬로 등장하고 이 때 $2$차 텐서라는 표현 보다는 텐서라는 표현을 많이 쓴다. 크로네커 델타 $\delta_{ij}$도 아래첨자가 2개이기 때문에 $2$차 텐서이다. 하지만 보통 교재에서 크로네커 델타를 굳이 텐서라 부르지는 않는다.
$$ \begin{align*} \delta_{ij}&=\begin{cases} 1 & \mathrm{if} \quad i=j \\ 0 & \mathrm{if} \quad i\ne j \end{cases} \\ &= \begin{pmatrix} \delta_{11} & \delta_{12} & \delta_{13} \\ \delta_{21} & \delta_{22} &\delta_{23} \\ \delta_{31} &\delta_{32} &\delta_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align*} $$
성분의 수는 $3^2=9$개이다.
$3$차 텐서
대표적인 예로 레비-치비타 심볼Levi-Civita symbol이 있다.
$$ \epsilon_{ijk}=\begin{cases} 1 & \mathrm{if} \quad ijk=123=231=312 \\ -1 & \mathrm{if} \quad ijk=132=213=321 \\ 0 & \mathrm{if} \quad i=j \ \mathrm{or}\ j=k\ \mathrm{or} \ k=i \end{cases} $$
아래첨자의 수가 3개이기 때문에 $3$차 텐서이다. 하지만 보통 교재에서 레비-치비타 심볼을 굳이 텐서라고 말하지는 않는다. 성분의 수는 $3^3=27$개이다.
$4$차 텐서
이제 $4$차 텐서는 성분의 아래첨자가 4개인 물리량을 부르는 이름이라는 것을 알겠지만 학부 물리학에서 $4$차 이상의 텐서는 나오지 않는다.