디랙 델타 함수의 성질
성질
$$ \begin{equation} \delta (-x) =\delta (x) \end{equation} $$
$$ \begin{equation} \delta (kx)= \frac{1}{|k|} \delta (x) \end{equation} $$
증명
증명 $(1)$
$\int_{-\infty }^ { \infty } f(x) \delta (-x) dx$에서 $-x \equiv y$라고 치환하면$x=-y$, $dx=-dy$이고,
$$ \begin{align*} \int_{-\infty } ^{ \infty } f(x) \delta (-x) dx =&\ -\int_{ \infty }^{-\infty} f(-y) \delta (y) dy \\ =&\ \int_{-\infty } ^{\infty } f(-y) \delta (y) dy \\ =&\ f(0) \\ =&\ \int_{-\infty } ^{\infty } f(x) \delta (x) dx \end{align*} $$
$$ \int_{-\infty }^ { \infty } f(x) {\color{blue}\delta (-x)} dx = \int_{-\infty } ^{\infty } f(x) {\color{blue}\delta (x)} dx $$
따라서
$$ \delta (-x) = \delta (x) $$
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증명 $(2)$
$\int_{-\infty }^ { \infty } f(x) \delta (kx) dx$ 에서 $kx \equiv y$라고 치환하면 $x=\frac{1}{k}y$, $ dx=\frac{1}{k}y$이고,
$$ \int_{-\infty }^ { \infty } f(x) \delta (kx) dx = \frac{1}{k} \int_{-\infty }^ { \infty } f(\frac{1}{k}y) \delta (y) dy $$
다만 이 결과는 $k>0$ 일 때 이다. $k<0$일 때는 적분구간에 유의해야한다.
$k<0$일 때 $kx \equiv y$라고 치환하면 $x=\frac{1}{k}y$, $dx=\frac{1}{k}y$ 이고 $(x \rightarrow \infty \ ,\ y \rightarrow -\infty)$, $( x \rightarrow -\infty \ ,\ y \rightarrow \infty)$이므로
$$ \begin{align*} \int_{-\infty } ^{ \infty } f(x) \delta (kx) dx =&\ \frac{1}{k} \int_{\infty }^ { -\infty } f(\frac{1}{k}y) \delta (y) dy \\ =&\ \left( \frac{1}{-k} \right) \left(-\int_{\infty }^ { -\infty } f(\frac{1}{k}y) \delta (y) dy \right) \\ =&\ \frac{1}{|k|}\int_{-\infty }^ { \infty } f(\frac{1}{k}y) \delta (y) dy \end{align*} $$
따라서 모든 실수 $k$에 대해서 고려하면
$$ \begin{align*} \int_{-\infty }^ { \infty } f(x) \delta (kx) dx =&\ \frac{1}{|k|}\int_{-\infty }^ { \infty } f(\frac{1}{k}y) \delta (y) dy \\ =&\ \frac{1}{|k|} f(0) \\ =&\ \frac{1}{|k|}\int_{-\infty }^ { \infty } f(x) \delta (x) dx \\ =&\ \int_{-\infty }^ { \infty } f(x) \frac{1}{|k|}\delta (x) dx \end{align*} $$
$$ \int_{-\infty }^ { \infty } f(x) {\color{blue} \delta (kx)} dx=\int_{-\infty }^ { \infty } f(x) {\color{blue} \frac{1}{|k|}\delta (x) } dx $$
$$ \therefore \delta (kx) = \frac{1}{|k|}\delta (x) $$
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