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포인팅 정리와 포인팅 벡터 📂전자기학

포인팅 정리와 포인팅 벡터

정리1

전자기력이 전하에 해준 일은 전자기장에 저장된 에너지의 감소량과 경계면을 통해 밖으로 새어나간 에너지를 더한 것과 같다. 이를 포인팅 정리Poynting’s theorem라 한다.

$$ \begin{align*} \dfrac{dW}{dt} &= -\dfrac{d}{dt} \int_{\mathcal{V}} \dfrac{1}{2} \left( \epsilon_{0} E^2 + \dfrac{1}{\mu_{0}} B^2 \right) d\tau - \dfrac{1}{\mu_{0}} \oint_{\mathcal{S}} (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) \cdot d \mathbf{a} \\ &= -\dfrac{d}{dt} \int_{\mathcal{V}} u d\tau - \oint_{\mathcal{S}}\mathbf{S} \cdot d\mathbf{a} \end{align*} $$

$\mathcal{S}$는 $\mathcal{V}$의 경계이다. $u$는 단위부피 공간의 전자기장에 저장된 총 에너지이다. 우변의 두번째 항의 피적분함수 $\mathbf{S}$는 전자기장에 실려 단위시간동안에 단위면적을 지나가는 에너지이고 포인팅 벡터Poynting vector라 한다.

$$ \mathbf{S} =\dfrac{1}{\mu_{0}} (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) $$

에너지 흐름 밀도energy flux density 라고도 한다.

설명

포인팅 정리로부터 에너지에 대한 연속 방정식을 얻는다.

$$ \dfrac{\partial u}{\partial t} = -\nabla \cdot \mathbf{S} $$

전자기장에 저장된 에너지가 보존됨을 말해주는 식이다.

포인팅을 pointing으로 착각하기 쉽지만 Poynting이라는 사람 이름이다. 가리킨다던가하는 등 영어단어 point와는 전혀 관계가 없으므로 착각하지 말자.

포인팅 정리는 단위 시간동안에 전자기력이 전하에 해준 일을 어떻게 계산하는지에 대한 정리다. 특히 포인팅 벡터는 전자기학 뒷부분에서 운동량과 에너지에 대한 내용을 다룰 때 계속 등장하는 중요한 개념이다.

증명

전하분포를 만들어주는데 필요한 일(쿨롱힘을 거슬러 해주는 일)과 전류가 흐르게 하는데 필요한 일(역기전력을 거슬러 해주는 일)은 각각 다음과 같다.

$$ W_{E} =\dfrac{\epsilon_{0}}{2}\int E^2 d\tau , \quad \quad W_{B} =\dfrac{1}{2\mu_{0}}\int B^2 d\tau $$

$\mathbf{E}$와 $\mathbf{B}$는 각각 전하분포, 전류분포가 만드는 전자기장이다. 따라서 단위부피의 공간에 전자기장으로 저장된 총 에너지는 다음과 같다.

$$ u =\dfrac{1}{2}\left( \epsilon_{0} E^2 +\dfrac{1}{\mu_{0}} B^2\right) $$

  • Part 1. 포인팅 정리

어떤 전하분포와 전류분포로부터 시각 $t$에 전기장 $\mathbf{E}$와 자기장 $\mathbf{B}$가 생겨났다고 하자. 시간 $dt$ 뒤에 전하가 움직였다면 전자기력이 시간 $dt$동안 이 전하에 해준 일 $dW$은 일의 정의와 로런츠 힘 법칙을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$ \begin{align*} dW &= \mathbf{F}\cdot d\mathbf{s} \\ &= q(\mathbf{E} +\mathbf{v}\times \mathbf{B}) \cdot \mathbf{v} dt \\ &= q\mathbf{E} \cdot \mathbf{v} dt \end{align*} $$

마지막 등호가 성립하는 이유는 $\mathbf{v}\times \mathbf{B}$는 $\mathbf{v}$와 수직하므로 $(\mathbf{v} \times \mathbf{B})\cdot \mathbf{v}=0$. 혹은 자기력은 일은 하지 않기 때문이라고 설명할 수 있다. 전하량은 $q=\int \rho d\tau$이고, $\rho\mathbf{v}=\mathbf{J}$이므로

$$ \begin{align} dW &= \int_{\mathcal{V}} \mathbf{E}\cdot \rho\mathbf{v} d\tau dt \nonumber \\ &= \int_{\mathcal{V}} \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} d\tau dt \nonumber \\ \implies \dfrac{dW}{dt} &= \int_{\mathcal{V}} \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} d\tau \end{align} $$

따라서 $\mathbf{E} \cdot \mathbf{J}$는 단위시간동안 단위부피에 해준 일이라 할 수 있다. 다르게 표현하면 단위부피에 해준 일률이다. 맥스웰 방정식 $\text{(iv)}$에 의해 $\mathbf{J}=\frac{1}{\mu_{0}}\nabla \times \mathbf{B} - \epsilon_{0} \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$이므로

$$ \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} = \dfrac{1}{\mu_{0}}\mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) - \epsilon_{0} \mathbf{E}\cdot \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} $$

곱셈규칙 (d) $\mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{E}) - \nabla \cdot(\mathbf{E} \times \mathbf{B})$와 패러데이 법칙 $\nabla \times \mathbf{E}= -\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$을 사용하여 첫째항을 더 간단히 나타낼 수 있다.

$$ \mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) = -\mathbf{B} \cdot \dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} -\nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) $$

따라서 원래의 식은

$$ \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} = -\left( \epsilon_{0} \mathbf{E} \cdot \dfrac{\partial \mathbf{E} } {\partial t} + \dfrac{1}{\mu_{0}}\mathbf{B}\cdot\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \right) -\nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) $$

우변의 첫째항을 간단하게 만들기 위해 아래와 같은 관계식을 쓸 수 있다

$$ \dfrac{\partial}{\partial t} A^2=\dfrac{\partial}{\partial t}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{A})=2\mathbf{A} \cdot \dfrac{\partial \mathbf{A} }{\partial t} \\ \implies \mathbf{A}\cdot \dfrac{ \partial \mathbf{A}}{\partial t} = \dfrac{1}{2}\dfrac{\partial}{\partial t} A^2 $$

따라서 원래의 식에 적용시키면

$$ \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} = -\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial }{\partial t} \left( \epsilon_{0} E^2 + \dfrac{1}{\mu_{0}}B^2 \right) -\dfrac{1}{\mu_{0}}\nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) $$

마지막으로 이를 $(1)$에 대입하면

$$ \begin{align*} \dfrac{dW}{dt} &= -\dfrac{d}{dt} \int_{\mathcal{V}} \dfrac{1}{2}\left( \epsilon_{0} E^2 + \dfrac{1}{\mu_{0}}B^2 \right)d\tau -\dfrac{1}{\mu_{0}} \int_{\mathcal{V}} \nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) d\tau \\ &= -\dfrac{d}{dt} \int_{\mathcal{V}} \dfrac{1}{2}\left( \epsilon_{0} E^2 + \dfrac{1}{\mu_{0}}B^2 \right)d\tau -\dfrac{1}{\mu_{0}} \oint_{\mathcal{S}} (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) \cdot d\mathbf{a} \end{align*} $$

두번째 등호는 발산정리에 의해 성립한다. 우변의 첫번째 항은 글 상단에서 봤듯이 전자기장 속에 저장된 전체 에너지 $u$이다. 포인팅 벡터를 $\mathbf{S} \equiv \frac{1}{\mu_{0}}( \mathbf{E} \times \mathbf{B})$라고 정의한다. $u$와 $\mathbf{S}$로 포인팅 정리를 간단히 표현하면

$$ \dfrac{dW}{dt} =-\dfrac{d}{dt} \int_{\mathcal{V}} u d\tau - \oint_{\mathcal{S}}\mathbf{S} \cdot d\mathbf{a} $$

  • Part 2. 연속 방정식

부피 $\mathcal{V}$속의 전하에 일을 해주지 않으면 그 때는 $\dfrac{dW}{dt}=0$이므로 포인팅 정리는

$$ \int \dfrac{\partial u}{\partial t} d\tau =- \oint \mathbf{S} \cdot d\mathbf{a}=-\int \nabla \cdot \mathbf{S} d\tau $$

두번째 등호는 발산정리에 의해 성립한다. 따라서

$$ \dfrac{\partial u}{\partial t} = -\nabla \cdot \mathbf{S} $$

부피 속의 전자기장에 저장된 에너지가 변하면(좌변) 그 만큼 전자기장에 저장된 에너지가 부피의 경계면을 통해 빠져나간다(우변)는 말이다. 즉, 국소적 에너지가 보존된다는 말이다. 하지만 일반적으로는 전자기장의 에너지 자체는 보존되지 않는다. 전자기장과 상호작용하는 물체와 전자기장 모두의 에너지를 계산할 때에만 에너지가 보존된다.


  1. David J. Griffiths, 기초전자기학(Introduction to Electrodynamics, 김진승 역) (4th Edition1 2014), p381-385 ↩︎