📂전자기학

맥스웰 방정식

공식

맥스웰 방정식^{Maxwell’s equations}

$(\text{i}) \quad \nabla \cdot \mathbf{E}=\dfrac{1}{\epsilon_{0}}\rho$ (가우스 법칙)

$(\text{ii}) \quad \nabla \cdot \mathbf{B}=0$ (자기장에 대한 가우스 법칙)

$(\text{iii}) \quad \nabla \times \mathbf{E} = -\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ (패러데이 법칙)

$(\text{iv}) \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_{0} \mathbf{J}+\mu_{0}\epsilon_{0}\dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$ (앙페르 법칙)

설명¹

맥스웰이 맥스웰 방정식을 완성시키기 전에 전기장과 자기장에 관한 4개의 방정식은 다음과 같았다.

$(\text{i}) \quad \nabla \cdot \mathbf{E}=\dfrac{1}{\epsilon_{0}}\rho$

$(\text{ii}) \quad \nabla \cdot \mathbf{B}=0$

$(\text{iii}) \quad \nabla \times \mathbf{E} = -\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$

$(\text{iv}) \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_{0} \mathbf{J}$

전기장과 자기장의 발산과 회전에 관한 4개의 식만 있으면 이론적으로는 전자기학의 거의 모든 것을 설명할 수 있다. 괜히 묶어 놓은 것이 아니다. 그런데 위의 식 중 $\text{(iv)}$에 큰 오류가 있었다. 회전의 발산은 항상 $0$이므로 $(\text{iv})$에 발산을 취하면 다음과 같다.

$$ \begin{equation} 0 = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{B})=\mu_{0} (\nabla \cdot \mathbf{J}) \ne 0 \end{equation} $$

여기에서 문제가 생기는데, 정상전류일 때는 앙페르 법칙이 잘 성립하여 우변이 $0$이 되지만 일반적으로는 그렇지 않다.

우변을 $0$으로 만들어주기 위한 아이디어를 얻기 위해 연속 방정식과 가우스법칙을 써서 우변을 바꿔 적으면

$$ \nabla \cdot \mathbf{J}=-\dfrac{\partial \rho}{\partial t}=-\dfrac{ \partial( \epsilon_{0} \nabla \cdot \mathbf{E})}{\partial t}=-\nabla \cdot \left(\epsilon_{0} \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t } \right) $$

따라서 $\mathbf{J}$ 대신 $\mathbf{J}+\epsilon_{0}\dfrac{\partial \mathbf{E} }{\partial t}$를 쓰면 $(1)$의 우변을 $0$으로 만들어 줄 수 있다. 그렇게 고친 $\text{(iv)}$는 아래와 같다.

$$ \text{(iv)} \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_{0}\mathbf{J} + \mu_{0}\epsilon_{0}\dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} $$

고친 식 역시 정자기학을 그대로 만족하기 때문에 기존의 법칙들을 위배하지 않으면서 오류가 있는 부분을 잘 고친 것이다. 사실 이 부분이 맥스웰에 의해 뒤 늦게 고쳐진 데에는 이유가 있다. 전자기학의 많은 법칙들은 실험을 통해서 발견, 증명되었다. 그런데 보통의 경우 위 식의 두 항의 크기의 차이가 너무 커 실험적으로 발견하는 것은 굉장히 어려웠다.

$$ \left| \epsilon_{0}\dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right| \ll \left| \mathbf{J} \right| $$

맥스웰이 새로 고친 식은 '변화하는 전기장은 자기장을 만들어낸다'는 의미를 담고 있다. 이는 1988년에 헤르츠의 전자기파 실험에서 확인되었다.