📂수치해석

에르미트 인터폴레이션

정의 ¹

서로 다른 $x_{1} , \cdots , x_{n}$ 의 데이터 $(x_{1}, y_{1} , y’_{1}) , \cdots , (x_{n} , y_{n}, y’_{n})$ 에 대해 $\begin{cases} p (x_{i} ) = y_{i} \\ p '(x_{i} ) = y’_{i} \end{cases}$ 와 $\deg H \le 2n-1$ 을 만족하는 인터폴레이션인 다항 함수 $H$ 를 에르미트 인터폴레이션^{hermite Interpolation}이라고 한다.

정리

존재성과 유일성

• [1]: 주어진 데이터에 대해서 $H$ 는 유일하게 존재한다.

라그랑주 폼

• [2]: $$H_{n} (x) = \sum_{i=1}^{n} y_{i} h_{i} (x) + \sum_{i=1}^{n} y’_{i} \tilde{h}_{i} (x)$$

뉴턴 계차상 폼

• [3]: $$\begin{align*}H_{n} (x) =& f(x_{1}) + (x - x_{1}) f [ x_{1} , x_{1} ] + (x - x_{1})^2 f [ x_{1} , x_{1} , x ] + \cdots \\ & + (x - x_{1})^2 \cdots (x - x_{n-1})^2 (x - x_{n}) f [ x_{1} , x_{1} , \cdots, x_{n} , x_{n} ]\end{align*}$$

오차 분석

• [4]: 실제 함수와의 오차 : $2n$번 미분가능한 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 와 어떤 $\xi_{x} \in \mathscr{H} \left\{ x_{1} , \cdots , x_{n} , x \right\}$ 에 대해 $f$ 의 에르미트 인터폴레이션 $H_{n}$ 은 다음을 만족한다. $$ f(x) - H_{n} (x) = {{ [ \Psi_{n} (x) ]^2 } \over { (2n)! }} f^{(2n)} ( \xi_{x} ) $$

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• $\mathscr{H} \left\{ a,b,c, \cdots \right\}$ 는 $a,b,c, \cdots$ 를 포함하는 가장 작은 구간을 나타낸다.

설명

에르미트 인터폴레이션은 폴리노미얼 인터폴레이션에서 함수값만이 아니라 미분계수까지 동시에 인터폴레이트하는 다항식에 관심이 있다. 미분을 반영했으니 폴리노미얼 인터폴레이션에 비해서는 더 정확하다.

한편 한 번 미분한 것 이상에 대해서도 적용할 수 있으나, 그 모양은 몹시 복잡하다.

증명

[1]

전략: 복수의 에르미트 인터폴레이션이 있다고 가정한 후 모순임을 보인다.

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$H$ 와 다른 에르미트 폴리노미얼 $G$ 가 존재한다고 가정하자.

$R := H - G$ 라고 하면 $x = x_{1}, \cdots , x_{n}$ 에 대해 $\begin{cases} H (x_{i} ) = G (x_{i} ) = y_{i} \\ H’ (x_{i} ) = G' (x_{i} ) = y’_{i} \end{cases}$ 이므로 $$ R(x_{i}) = R’(x_{i}) = 0 $$ 이는 $x_{1}, \cdots , x_{n}$ 가 모두 $R(x) = 0$ 의 $2$차 중근라는 의미이므로, 어떤 폴리노미얼 $q(x)$ 에 대해 $$ R = q(x) (x - x_{1} )^2 \cdots (x - x_{n} )^2 $$ 이어야한다. 만약 $q(x) \ne 0$ 이면 $\deg R \ge 2n$ 이므로 모순이고, $q(x) = 0$ 이면 $R(x) = 0$ 가 되므로 $H(x) = G(x)$ 일 수밖에 없다.

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[2]

전략: 라그랑주 공식과 비슷하게 구체적으로 $h_{i}$ 와 $\tilde{h}_{i}$ 를 찾아낸다.

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Part 1.

$$ \Psi_{n} (x) := (x-x_{1}) \cdots (x - x_{n}) $$ $\Psi_{n}$ 을 $x$ 에 대해 미분하고 $x = x_{j}$ 를 대입하면 $$ \Psi’_{n} (x_{j}) := (x-x_{1}) \cdots (x - x_{j-1})(x - x_{j+1}) \cdots (x - x_{n}) $$

$$ \implies {{ \Psi (x)_{n} } \over { (x - x_{j}) \Psi’_{n}(x_{j}) }} \equiv {{ (x - x_{1} ) \cdots (x - x_{j-1} ) (x - x_{j+1} ) \cdots (x - x_{n} ) } \over { (x_{j} - x_{1} ) \cdots (x_{j} - x_{j-1} ) (x_{j} - x_{j+1} ) \cdots (x_{j} - x_{n} ) }} = l_{j} (x) $$ 여기서 $l_{i}$ 은 인덱스에 대해 크로네커 델타 함수다.

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Part 2.

$$ h_{i} (x) := \left[ 1 - 2 l’_{i} (x_{i}) (x -x_{i} ) \right] \left[ l_{i}(x) \right]^2 $$ 과 같이 $h_{i}$ 를 정의하면 $l_{i} (x_{j}) = \delta_{ij}$ 이므로 $$ \begin{cases} h_{i} ( x_{j} ) = \delta_{ij} \\ h’_{i} ( x_{j} ) = 0 \end{cases} $$

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Part 3.

$$ \tilde{h}_{i} (x) := (x -x_{i} ) \left[ l_{i}(x) \right]^2 $$ 과 같이 $\tilde{h}_{i}$ 를 정의하면 $l_{i} (x_{j}) = \delta_{ij}$ 이므로 $$ \begin{cases} \tilde{h}_{i} ( x_{j} ) = 0 \\ \tilde{h}’_{i} ( x_{j} ) = \delta_{ij} \end{cases} $$

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Part 4.

$$ H_{n} (x) := \sum_{i=1}^{n} y_{i} h_{i} (x) + \sum_{i=1}^{n} y’_{i} \tilde{h}_{i} (x) $$ 과 같이 $H_{n}$ 를 정의하면 Part 2와 Part 3에 의해 $$ \begin{cases} H_{n}(x_{i}) = y_{i} \\ H’_{n}(x_{i}) = y’_{i} \end{cases} $$

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[3]

전략: 뉴턴 계차상 공식에서 시작해 그냥 공식이 성립함을 직접 보인다.

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뉴턴 계차상 공식에 따라 $z_{1}, \cdots , z_{2n}$ 에 대해 $$ f(x) - p_{2n-1} (x) = (x - z_{1}) \cdots (x - z_{2n}) f [ z_{1} , \cdots , z_{n} , x ] $$ $z_{2i-1} , z_{2i} \to x_{i}$ 라고 하면 $$ \begin{equation} f(x) - p_{2n-1} (x) = (x - x_{1})^2 \cdots (x - x_{n})^2 f [ x_{1} , x_{1} , \cdots , x_{n} , x_{n} , x ] \end{equation} $$ $x = x_{1}, \cdots , x_{n}$ 를 직접 대입해보면 $$ f(x_{i} ) - p_{2n-1} (x_{i}) = 0 $$ 한편 $(1)$ 의 양변을 미분하면 $$ \begin{align*} A(x) :=& (x - x_{1})^2 \cdots (x - x_{n})^2 {{ d } \over { dx }} f [ x_{1} , x_{1} , \cdots , x_{n} , x_{n} , x ] \\ B(x) :=& 2 f [ x_{1} , x_{1} , \cdots , x_{n} , x_{n} , x ] \sum_{i=1}^{n} \left[ (x -x_{i} ) \prod_{i \ne j} (x - x_{j})^2 \right] \end{align*} $$ 에 대해서 $$ f ' (x) - p '_{2n-1} (x) = A(x) + B(x) $$ $x = x_{1}, \cdots , x_{n}$ 를 직접 대입해보면 $A(x_{i}) = B(x_{i}) = 0$ 이므로 $$ f ' (x_{i} ) - p '_{2n-1} (x_{i}) = 0 $$ 따라서 $H_{n} (x) = p_{2n-1} (x)$ 를 얻는다.

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[4]

[3]에 의해 $$ f(x) - H_{n} (x) = f [ x_{1} , x_{1} , \cdots , x_{n} , x_{n} , x ] $$

에르미트-제노키 공식의 따름정리:

• [4]’: $$f [ \underbrace{ x_{i} , \cdots , x_{i} }_{ n+1 } ] = {{1} \over {n!}} f^{(n)} ( x_{i} ) $$

에르미트-제노키 공식의 따름정리에 따라 어떤 $\xi_{x} \in \mathscr{H} \left\{ x_{1} , \cdots , x_{n} , x \right\}$ 에 대해 $$ f(x) - H_{n} (x) = {{ [ \Psi_{n} (x) ]^2 } \over { (2n)! }} f^{(2n)} ( \xi_{x} ) $$

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