logo

양자역학에서 운동량 연산자 📂양자역학

양자역학에서 운동량 연산자

정의

양자역학에서 운동량 연산자는 아래와 같다.

P=ℏi∂∂x=−iℏ∂∂x P = \frac{\hbar}{\i}\frac{\partial}{\partial x} = -\i\hbar \dfrac{\partial }{\partial x}

설명

운동량 연산자란 파동함수의 운동량을 계산해주는 함수로, 운동량이 p=ℏkp = \hbar k인 파동함수 ψ\psi를 대입했을 때 다음의 식을 만족시키는 함수를 말한다.

Pψ=pψ P \psi = p \psi

2차원 이상의 경우에, 각 방향으로의 운동량 연산자는 다음과 같다.

Px=−iℏ∂∂x,Py=−iℏ∂∂y,Pz=−iℏ∂∂z P_{x} = -\i\hbar\frac{\partial}{\partial x},\quad P_{y} = -\i\hbar\frac{\partial}{\partial y},\quad P_{z} = -\i\hbar\frac{\partial}{\partial z}

따라서 3차원 운동량 연산자는,

P=−iℏ∇ P = -\i\hbar\nabla

유도

1차원에서 생각하자. 우리가 찾고자 하는 함수는 운동량이 pp인 파동함수 ψ(x,t)=ei(kx−ωt)\psi (x,t) = e^{i(kx - \omega t)}에 대해서 다음의 식을 만족하는 연산자이다.

Pψ=pψ P \psi = p \psi

양자역학에서 운동량과 에너지는 각각 p=ℏkp = \hbar k이므로 파동함수는,

ψ(x,t)=ei(px−ℏωt)/ℏ \psi (x,t) = e^{i(px - \hbar \omega t)/\hbar}

여기서 운동량 pp를 얻으려면 xx로 미분하면 된다.

∂∂xei(px−ℏωt)/ℏ=iℏpei(px−ℏωt)/ℏ \dfrac{\partial }{\partial x} e^{\i(px - \hbar \omega t)/\hbar} = \dfrac{\i}{\hbar} p e^{\i(px - \hbar \omega t)/\hbar}

따라서

ℏi∂∂xei(px−ℏωt)/ℏ=pei(px−ℏωt)/ℏ  ⟹  ℏi∂∂xψ(x,t)=pψ(x,t)  ⟹  P=ℏi∂∂x \begin{align*} && \dfrac{\hbar}{\i}\dfrac{\partial }{\partial x} e^{\i(px - \hbar \omega t)/\hbar} &= p e^{\i(px - \hbar \omega t)/\hbar} \\ \implies && \dfrac{\hbar}{\i}\dfrac{\partial }{\partial x} \psi (x, t) &= p \psi (x, t) \\ \implies && P = \dfrac{\hbar}{\i}\dfrac{\partial }{\partial x} \end{align*}

■