📂행렬대수

순열 행렬

정의 ¹

각 행마다 하나의 성분만 $1$ 이고 나머지가 $0$ 인 정방행렬 $P \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 을 순열 행렬^{permutation matrix}이라 한다.

기초 성질

직교성

모든 순열 행렬은 직교 행렬이다: $$P^{-1} = P^{T}$$

스파스성

충분히 큰 $n$ 에 대해, $P \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 은 스파스 행렬이다.

설명

순열 행렬은 이름 그대로 행렬곱을 통해 행과 열의 순열을 준다. 다음의 예시에서 알 수 있듯 왼쪽에 곱해지면 행순열, 오른쪽에 곱해지면 열순열이다. $$\begin{align*} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} = & \begin{bmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = & \begin{bmatrix} a_{12} & a_{11} & a_{13} \\ a_{22} & a_{21} & a_{23} \\ a_{32} & a_{31} & a_{33} \end{bmatrix} \end{align*}$$