행렬대수

선형 대수의 내용 중에서도 행렬에 대한 내용을 중심으로 연립 방정식, 행렬의 대각화, 행렬 분해, 고유값 문제, 행렬변환 등을 다룬다. 일반적인 벡터 공간, 선형 변환 등에 대한 내용은 선형대수 카테고리에서 찾을 수 있다. 같은 내용일지라도 선형대수 카테고리의 글이 더 추상적이거나 어려울 수 있다. 티스토리 지점에서의 수치선형대수가 해당 카테고리에 통합되었다.

기초행렬대수

• 벡터와 행렬의 연산/표기법 테이블

행렬의 형태

• 벡터의 정의
• 행렬의 정의
• 행렬의 연산: 상수배, 덧셈, 곱셈
  • 행렬의 내적 $\mathbf{u}^{T} \mathbf{v}$
  • 직합 $B_{1} \oplus B_{2} := \diag \begin{bmatrix} B_{1} \\ B_{2} \end{bmatrix}$
  • 크로네커 곱 $A \otimes B$
  • 아다마르 곱 $A \odot B$
• 항등 행렬 $I, E$
• 영 행렬 $O$
  • 멱영 행렬 $A^{k} = O$
• $1$ 행렬
• 정사각 행렬
• 삼각 행렬
  • 정사각 순삼각행렬은 멱영이다
  • 🔒 (23/11/30) 삼각행렬의 행렬식
• 대각 행렬 $\diag$
  • 대각행렬곱을 통한 행렬의 행별, 열별 스칼라곱
  • 대각합 $\tr A$
• 블록 행렬 $\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}$
  • 슈트라센 알고리즘 증명
• 🔒 (24/01/25) 스파스 행렬
  • 순열 행렬 $P$
• 🔒 (24/04/30) 한켈 행렬 $H$

행렬의 성질

• 역행렬 $A^{-1}$, 가역행렬
  • 가역행렬일 동치 조건
  • 행렬의 닮음
  • 유사역행렬 $A^{\dagger}$
• 전치 행렬 $A^{T}$
  • 대칭 행렬 $A^{T} = A$, 반대칭 행렬 $A^{T} = -A$
• 켤레 전치 행렬 $A^{\ast}$
  • 에르미트 행렬 $A^{\ast} = A$
  • 에르미트 행렬의 고유값은 항상 실수이다
  • 에르미트 행렬의 서로 다른 고유값의 고유벡터는 서로 수직이다
  • 🔒 (24/09/27) 에르미트 행렬 공간과 양준정부호 행렬의 컨벡스 콘 $\mathbb{H}_{n}$, $\mathbb{P}_{n}$
  • 🔒 (24/10/01) 에르미트 행렬의 로우너 순서 $A \ge B$
• 직교 행렬 $A^{T} = A^{-1}$
  • 직교 행렬의 성질
  • 직교 행렬일 동치 조건
  • 유니타리 행렬 $A^{\ast} = A^{-1}$
• 사영행렬 $P^{2} = P$
  • 정사영
• 정부호 행렬 $\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} \ne 0$
  • 🔒 (24/06/23) 정부호 행렬은 에르미트 행렬이다
  • 🔒 (24/07/01) 양정부호 행렬의 역행렬과 제곱근 행렬
  • 🔒 (24/07/25) 양정부호 행렬과 확장된 코시-슈바르츠 부등식 증명
• 🔒 (24/10/05) 행렬의 지수와 로그 $e^{A}$, $\log A$
• 🔒 (24/10/09) 양정부호 행렬의 실수 거듭제곱 $A^{t}$
  • 🔒 (24/01/29) 제곱근 행렬 $A^{1/2} = \sqrt{A}$

연립 방정식

• 연립 일차 방정식
• 과도결정계와 과소결정계
• 첨가 행렬과 기본 행 연산
• 가우스-요르단 소거법
  • 🔒 (24/02/02) 가우스 소거법으로 역행렬 구하는 알고리즘
• 동차 연립 일차 방정식
• 기본행렬
• 역행렬과 연립 일차 방정식

행렬식

• 행렬식 $\det$
  • 행렬식의 성질
• 🔒 (23/11/26) 여인자와 고전수반행렬 $\text{adj} A = C^{T}$
  • 라플라스 전개
• 크레이머 법칙 증명
• 방데르몽드 행렬의 행렬식 유도
• 삼중대각 행렬의 행렬식 유도
• 🔒 (23/11/18) 셔먼-모리슨 공식 유도 $\left( A + \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} \right)^{-1}$
  • 🔒 (23/11/18) 행렬식 보조정리 증명

고유값 문제

• 고유값과 고유벡터
  • 닮은 행렬은 같은 고유값을 갖는다
• 고유값의 대수적 중복도와 기하적 중복도
  • 고유값의 대수적 중복도는 기하적 중복도보다 크거나 같다
• 스펙트럼
  • 스펙트럴 래디어스 $\rho (A)$
    • 페론-프로베니우스 정리
• 타원의 일반화: 일립소이드

일차변환

• 행렬변환
• 회전변환
  • 🔒 (24/04/22) 3차원 회전변환 행렬: 롤, 피치, 요

행렬공간

• 행공간, 열공간, 영공간
  • 행공간, 열공간, 영공간에 대한 기저
  • 행렬의 기본 공간
• 랭크, 무효차수
  • 연립방정식으로 이해하는 랭크와 무효차수
  • 풀 랭크 행렬의 성질 = $X^T X$ 의 역행렬이 존재하는 필요충분조건

수치행렬대수

행렬분해

• 가역행렬의 고유값 대각화 $A = Q^{\ast} \Lambda Q$
  • 에르미트 행렬의 고유값 대각화: 스펙트럴 이론 증명
  • 🔒 (24/06/27) 스펙트럴 분해 $A = \sum \lambda e e^{T}$
• 양의 정부호 행렬의 콜레스키 분해
  • 콜레스키 분해의 유일성 증명
• 가역행렬의 LU 분해 $A = LU$
  • PLU 분해 $A = PLU$
• 대칭행렬의 LDU 분해 $A = LDL^{T}$
• 정방행렬의 슈어 분해 $A = QTQ^{\ast}$
• 행렬의 특이값 분해 SVD
  • 전체 특이값 분해의 존재성 증명
• 행렬의 QR 분해

최소제곱법

• 프로베니우스 놈 $\left\| \cdot \right\|_{F}$
• 최소제곱법
  • 특이값 분해를 통한 최소제곱법
  • 콜레스키 분해를 통한 최소제곱법
  • QR 분해를 통한 최소제곱법

주요 참고문헌

• Stephen H. Friedberg, Linear Algebra (4th Edition, 2002)
• 김상동. (2012). 수치행렬해석
• Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Aplications Version (12th Edition, 2019)