해석개론
실수 수열 ${x_{n}} : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$과 실함수 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$에 대해서 다루는 카테고리이다.
같이보기:
실수공간 $\mathbb{R}$
실수열
- 대학교 수학에서 수열의 극한을 새롭게 정의하는 이유
- 대학교 수학에서 수열의 수렴을 복잡하게 정의하는 이유
- 수렴하는 실수열의 성질
- 발산하는 실수열의 성질
- 단조수열과 단조수열정리
- 칸토어의 축소구간 정리 증명
- 볼자노-바이어슈트라스 정리 증명
- 코시 수열
- 리미트 슈프리멈, 리미트 인피멈
- 등비수열의 극한
- 부분수열
급수
연속
불연속성
미분
- 실수 공간에서 정의된 함수의 미분
- 미분가능하면 연속이다
- 미분가능한 함수의 성질
- 미분의 연쇄 법칙
- 극대의 정의와 미분 계수와의 관계
- 평균값 정리
- 연속이지만 미분할 수 없는 함수: 바이어슈트라스 함수
- 도함수와 함수의 증가감소의 관계
- 라이프니츠 미분 규칙
리만 적분
적분에 대한 내용은 주로 PMA 교재를 참고로 작성되었기 때문에 증명 내용이 리만-스틸체스 적분으로 일반화가 된 글이 많다. $\alpha (x)=x$로 두면 리만 적분에 대한 증명과 같다.
적분의 성질
- 적분은 선형이다
- 적분가능성은 연속 함수와의 합성에서 보존된다
- 적분가능성은 두 함수의 곱에서 보존된다
- 적분가능성은 구간 내에서 보존된다
- 함수의 대소 관계에 따른 적분의 대소 관계
- 적분가능한 함수와 절댓값
- 적분의 평균값 정리 증명
- 라이프니츠 적분 규칙
적분과 미분
곡선
함수의 수열과 급수
멱급수
- 멱급수
- 수렴반경
- 수렴성
- 멱급수의 미분 $\dfrac{d}{dx} \left(\sum\limits_{n = 0}^{\infty} c_{n} (x-a)^{n} \right) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} nc_{n} (x-a)^{n-1}$
- 멱급수의 적분 $\displaystyle \int \sum\limits_{n = 0}^{\infty} c_{n} (x-a)^{n} dx = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{c_{n}}{n+1} (x-a)^{n+1} + C$
- 코시 곱: 수렴하는 두 멱급수의 곱
기타
주요 참고문헌
- James Stewart, Daniel Clegg, and Saleem Watson, Calculus (early transcendentals, 9E)
- William R. Wade, An Introduction to Analysis (4th Edition, 2010)
- Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976)
전체 포스트
- 해석학의 세 가지 공리: 1 체 공리
- 해석학의 세 가지 공리: 2 순서 공리
- 해석학에서 아르키메데스의 원리
- 해석학의 세 가지 공리: 3 완비성 공리
- 실수의 조밀성 증명
- 적분의 평균값 정리
- 프레넬 사인 적분의 매클로린 전개
- 분할, 리만 합, 리만 적분
- 리만-스틸체스 적분
- 상적분은 하적분보다 크거나 같다
- 세분
- 리만(-스틸체스) 적분가능할 필요충분조건
- 연속함수는 리만(-스틸체스) 적분가능하다
- 단조함수는 리만(-스틸체스) 적분가능하다
- 적분가능성은 연속함수와의 합성에서 보존된다
- 적분가능성은 두 함수의 곱셈에서 보존된다
- 급수, 무한급수
- 라이프니츠 정리 증명
- 국소 립시츠 조건
- 조각마다 연속, 조각마다 매끄러움
- 함수값의 평균
- 함수열의 놈수렴
- 멱급수
- 코시 곱: 수렴하는 두 멱급수의 곱
- 이항 급수 유도
- 연속함수공간의 알지브라
- 스톤-바이어슈트라스 정리 증명
- 원주율은 무리수임을 증명
- 오일러 상수 e는 무리수다
- 폐구간에서 적분할 수 없는 함수: 디리클레 함수
- 함수열의 점별수렴
- 함수열의 균등수렴
- 실수 집합과 공집합은 열려있으면서도 닫혀있다
- 실수 집합에서 집적점이란
- 함수의 점별수렴과 균등수렴의 차이
- 함수의 급수
- 연속이지만 미분할 수 없는 함수: 바이어슈트라스 함수
- 대학교 수학에서 수열의 극한을 새롭게 정의하는 이유
- 대학교 수학에서 수열의 수렴을 복잡하게 정의하는 이유
- 칸토어의 축소구간 정리
- 볼자노-바이어슈트라스 정리
- 코시 수열
- 리미트 슈프리멈과 리미트 인피멈
- 입실론-델타 논법
- 대학교 수학에서 새롭게 정의되는 함수의 연속
- 함수의 균등연속
- 실수 공간에서 정의된 함수의 미분
- 확장된 실수 체계
- 라이프니츠 적분 규칙
- 리만(-스틸체스) 적분은 선형이다
- 리만(-스틸체스) 적분가능성은 구간 내에서 보존된다
- 적분 가능한 함수와 절댓값
- 함수의 대소 관계에 따른 적분의 대소 관계
- 해석학에서 미분적분학의 기본정리1
- 수렴하는 실수열의 성질
- 미분가능하면 연속이다
- 미분가능한 함수의 성질
- 해석학에서 극대의 정의와 미분 계수와의 관계
- 해석학에서 미분의 연쇄 법칙
- 해석학에서 평균값 정리
- 도함수와 함수의 증가감소의 관계
- 해석학에서 엄밀하게 정의되는 좌극한과 우극한
- 불연속성의 분류
- 해석학에서 미분적분학의 기본정리2
- 부분적분법
- 길이를 잴 수 있는 곡선
- 곡선의 도함수가 연속이면 길이를 잴 수 있는 곡선이다
- 균등수렴할 필요충분조건
- 오일러 상수, 자연 상수 e의 정의
- 단조수열과 단조수열정리
- 발산하는 실수열의 성질
- 함수열의 균등수렴과 연속성
- 이상적분의 정의
- 부분수열의 극한과 수열의 수렴성
- 부분 수열
- 함수열의 균등수렴과 미분가능성
- 함수열의 균등수렴과 적분가능성
- 멱급수의 수렴반경
- 멱급수의 미분
- 멱급수의 수렴성
- 멱급수의 적분