위상수학
위상수학Topology은 공간에 대한 탐구와 함수의 연속성에 대한 연구로써, 학부생의 입장에서는 해석개론의 일반화로 볼 수도 있다. 수학 전반에서 그 쓰임새는 가히 집합론에 조금 못 미치는 수준이라 해도 과언이 아니다.
일반 위상
토폴로지
- 위상공간이란? $\left( X, \mathscr{T} \right)$
- 자명 위상과 이산 위상
- 부분공간위상 상대위상
- 집적점과 수렴, 도집합 $a '$
- 내부에 대한 여러 동치 조건들 $A^{\circ}$
- 가분과 폐포 $\overline{A}$
- 일반적인 위상공간에서 수열의 극한은 유일하지 않다
- 열린 함수와 닫힌 함수
기저
위상적 성질
호메오멀피즘
위상적 성질
연결성
컴팩트
위상수학에서 배우는 많은 것들이 중요하지만, 컴팩트는 그 중에서도 특별히 더 중요하다. 아무리 위상수학이 적성에 안 맞아도 컴팩트만큼은 놓지 말고 열심히 공부하도록 하자.
- 컴팩트, 프리컴팩트란?
- 집적점 컴팩트와 볼자노-바이어슈트라스 성질
- 가산 컴팩트와 린델뢰프
- 수열 컴팩트
- 유한 교집합 성질 f.i.p.
- 컴팩트 하우스도르프 공간은 정규 공간이다
- 컴팩트 공간과 연속함수에 대한 유용한 성질들
- 최대최소값 정리
- 르벡 정리
- 균등연속 정리
- 페아노 공간 충전 정리
- 한 점 컴팩트화
공간
곱과 몫
매니폴드
네임드 공간
주요 참고문헌
- Croom. (1989). Principles of Topology
- Munkres. (2000). Topology(2nd Edition)
전체 포스트
- 위상공간이란?
- 위상공간에서의 집적점과 수렴, 도집합
- 위상공간에서의 가분과 폐포
- 자명 위상과 이산 위상
- 여유한위상과 여가산위상
- 일반적인 위상공간에서 수열의 극한은 유일하지 않다
- 위상수학에서의 기저와 국소기저
- 제1가산과 제2가산
- 거리공간의 제1가산성과 제2가산성
- 위상수학에서의 부분기저
- 위상수학에서 기저의 동치 조건
- 위상수학에서 연속이란
- 열린 함수와 닫힌 함수
- 위상공간에서 위상동형이란
- 위상적 성질
- 위상수학에서 계승적 성질이란?
- 위상수학에서의 분리성질
- T1-공간인 것과 모든 유한부분집합이 닫혀있는 것은 동치다
- 하우스도르프 공간에서는 시퀀스의 극한이 유일하다
- 위상수학에서 연결성이란
- 연결 공간의 여러가지 동치조건
- 전사 연속함수는 연결성을 보존한다
- 연결 공간의 부분 공간의 성질들
- 연결 성분과 완전 분리 공간
- 중간값 정리 증명
- 위상수학에서 고정점 성질이란?
- 위상수학에서 경로연결성이란
- 접착 보조정리 증명
- 경로연결 성분
- 국소연결과 국소경로연결
- 위상수학자의 사인 곡선과 빗 공간
- 위상공간에서 컴팩트, 프리컴팩트란?
- 유한 교집합 성질
- 컴팩트 하우스도르프 공간은 정규 공간이다
- 컴팩트 공간과 연속함수에 대한 유용한 성질들
- 위상공간에서 최대최소값 정리 증명
- 균등연속 정리
- 가산 컴팩트와 린델뢰프
- 볼자노-바이어슈트라스 성질과 집적점 컴팩트
- 르벡 정리 증명
- 페아노 공간 충전 정리 증명
- 한 점 컴팩트화
- 베르의 범주 정리 증명
- 칸토어 집합
- 위상공간의 데카르트 곱
- 알렉산더 부분기저 정리 증명
- 티호노프 정리 증명
- 위상수학에서의 함수공간
- 우리손 보조정리와 티체 확장 정리
- 몫 공간
- 다양체란
- 분리합집합 위상 공간
- 위상수학에서 좌표계란
- 위상 동형 사상은 기저를 보존함을 증명
- 위상공간에서의 내부에 대한 여러 동치 조건들
- 부분공간위상, 상대위상
- 완전 유계 공간
- 기저로부터 생성되는 위상
- 위상공간과 부분공간에서 내부에 대한 여러 성질
- 거리공간이 컴팩트인 것과 완비이면서 완전 유계인 것은 동치다
- 위상수학에서 임베딩
- 약한 위상의 정의
- 수학에서 토러스란?
- 위상공간에서 수열 컴팩트란?