위상데이터분석
TDATopological Data Analysis는 2020년대 들어 특히 각광 받고 있는 데이터 분석 기법으로써, 대수위상Algebraic Topology을 응용해서 데이터가 가지고 있는 본질적인 형태 자체에 관심을 가지는 방법론이다. 통계학과 딥러닝이 휩쓸고 간 현대사회에 남은 난제들을 풀기 위한 유망주로 꼽히며, 특히 비정형 데이터를 분석하기에 용이한 것으로 알려져있다.
대수위상
호모토피
- 디스크와 스피어 $D^{n}$, $S^{n-1}$
- 호모토피 $H : I \times I \to X$
- 기본군 $\pi_{1} \left( X , x_{0} \right)$
- 커버링과 리프트 $p \circ \tilde{f} = f$
- 유도된 호모몰피즘 $\varphi_{\ast}$
- 연속함수의 상대적 호모토피 $f_{0} \simeq_{\text{rel } A} f_{1}$
- 원의 기본군은 정수군과 동형이다 $\pi_{1} S^{1} \simeq \mathbb{Z}$
- 곱공간의 기본군은 기본군들의 곱과 아이소멀픽하다 $\pi_{1} AB \simeq \pi_{1} A \times \pi_{1} B$
- 호모토피 타입
- 축약가능 공간
- 리트랙트 $r \circ i = \text{id}$
컴플렉스
- 위상수학에서 컴플렉스란?
- CW 컴플렉스
- 심플리셜 컴플렉스 $K$
- 추상 심플리셜 컴플렉스
- $\Delta$-컴플렉스
- 비에토리스-립스 컴플렉스 $\text{VR}_{\varepsilon}$
- 체흐 컴플렉스 $\check{C}_{\varepsilon}$
프리그룹
호몰로지
- 호몰로지 그룹 $H_{n}$
- 심플리셜 호몰로지 그룹 $H_{n}^{\Delta}(X)$
- 바운더리 행렬 $\partial_{p}$
- 오일러 지표와 베티 수의 관계 $\chi = \sum (-1)^{p} \beta_{p}$
계산위상
지속성 호몰로지
주요 참고문헌
- Edelsbrunner, Harer. (2010). Computational Topology An Introduction
- Dantchev. (2012). Efficient construction of the Cech complex
- Hatcer. (2002). Algebraic Topology
- Munkres. (1984). Elements of Algebraic Topology
- Raul Rabadan. (2020). Topological Data Analysis for Genomics and Evolution
- Sheffar. (2020). Introductory Topological Data Analysis
- Zomorodian. (2005). Computing Persistent Homology
전체 포스트
- 추상대수학에서의 프리 그룹
- 호몰로지 그룹의 정의
- 위상수학에서 디스크와 스피어
- 위상수학에서 컴플렉스란?
- CW 컴플렉스의 정의
- 심플리셜 컴플렉스의 정의
- 델타-컴플렉스의 정의
- 심플리셜 호몰로지 그룹의 정의
- 벨츨 알고리즘: 최소내포디스크 문제의 해법
- 행렬의 스미스 노멀 폼
- 스미스 노멀 폼의 존재성 증명
- 프리 그룹의 서브 그룹
- 토션 서브 그룹의 정의
- 호모몰피즘의 스미스 노멀 폼
- 유한 생성 아벨군의 기본정리 증명
- 호몰로지 그룹의 베티 수
- 비에토리스-립스 컴플렉스의 정의
- 체흐 컴플렉스의 정의
- 계산위상에서의 바운더리 행렬
- 대수위상에서의 오일러 지표
- 추상 심플리셜 컴플렉스의 정의
- 호모토피의 정의
- 호모토피의 클래스
- 대수위상에서 기본군
- 대수위상에서의 커버링과 리프트
- 대수위상에서의 리프팅 정리 증명
- 모노드로미 정리 증명
- 대수위상에서의 유도된 준동형사상
- 연속함수의 상대적 호모토피
- 원의 기본군은 정수군과 동형이다
- 곱공간의 기본군은 기본군들의 곱과 아이소멀픽하다
- 호모토피 타입
- 토러스의 기본군은 두 정수군의 곱과 동형이다
- 축약가능 공간의 정의
- 위상수학에서의 리트랙트
- 컴플렉스의 필트레이션
- 퍼시스턴트 호몰로지 그룹의 정의
- 퍼시스턴트 모듈
- 조모로디안의 알고리즘 유도
- 조모로디안의 알고리즘 구현