수치해석

수학이 아무리 위대하다고 해도 세상의 모든 문제를 종이와 펜으로만 해결할 수는 없다. 수치해석은 기계를 동원해 근사적으로 문제를 해결하는 방법론으로, 수학을 응용하는 연구에 없어서는 안 될 귀중한 도구다.

함수와 적분

미분

• 차분 $\Delta$
• 유한차분법 FDM
  • 여러개의 점을 사용하는 유한 차분 유도

보간법

• 계차상 $f \left[ x_{0} , \cdots , x_{n} \right]$
  • 에르미트-제노키 공식
• 인터폴레이션
• 폴리노미얼 인터폴레이션
  • 라그랑주 공식 유도
  • 뉴턴 계차상 공식 유도
• 에르미트 인터폴레이션
• 스플라인
  • B-스플라인

함수 근사

• 함수 근사
  • 최소극대화 근사와 최소제곱 근사
• 제1종 체비셰프 다항함수 $T_{n}$
• 제2종 체비셰프 다항함수 $U_{n}$
• 제1종 제2종 체비셰프 다항함수의 관계
• 체비셰프 전개
• 체비셰프 노드

수치적 적분

• 수치적 적분
• 사다리꼴 룰 $I_{n}^{1}(f)$
• 심슨 룰 $I_{n}^{2}(f)$
• 뉴턴-코테스 적분 공식 $I_{n}^{p}(f)$
• 수치적으로 이상적분을 계산하기 위한 변수 치환 트릭
• 가우스 구적법
• 라게르 다항함수 $L_{n}$
• 에르미트 다항함수 $H_{e_{n}}$, $H_{n}$
• 수치적으로 이상적분을 계산하기 위한 가우스 구적법

방정식

대수방정식의 수치적 풀이

• 수렴률
• 바이섹션 메소드
• 뉴턴-랩슨 메소드
  • 넌리니어 시스템을 풀기 위한 뉴턴 메소드
• 시컨트 메소드
• 뮬러 메소드

미분방정식의 수치적 풀이

• 립시츠 조건
• 오일러 메소드
  • 강한 립시츠 조건과 오일러 메소드의 오차
  • 초기값이 조금 달라졌을 때 오일러 메소드의 오차
• 멀티스텝 메소드
  • 멀티스텝 메소드의 일관성과 수렴차수
  • 멀티스텝 메소드의 수렴성과 오차
• 패러사이틱 솔루션
  • 미드포인트 메소드
• 사다리꼴 메소드
• 리차드슨 오차 추정
• 아담스 메소드
• 멀티스텝 메소드의 루트 컨디션
  • 일관성을 가지는 멀티스텝 메소드의 안정성과 루트 컨디션
  • 일관성을 가지는 멀티스텝 메소드의 수렴성과 루트 컨디션
• A-스테이블
• 명시적 룽게-쿠타 메소드^ERK
  • 4차 룽게-쿠타 메소드^RK4
  • 계수 결정하는 방법
• 암시적 룽게-쿠타 메소드^IRK

편미분 방정식

• 열 방정식: 유한차분법(FDM)
• 열 방정식: the method of lines
• 파동 방정식: 유한차분법(FDM)
• 파동 방정식: $k$-space method
• 파동 방정식: 흡수 경계 조건

주요 참고문헌

• Atkinson. (1989). An Introduction to Numerical Analysis(2nd Edition)