복소해석

"복소해석은 나라가 허락한 유일한 마약이다."

공부 자체의 어려움과 별개로, 만약 복소해석이 흥미롭지 않다면 수학이라는 전공 자체를 다시 고민해봐야 할지도 모른다.

확장

복소공간

• 복소수의 정의 $z = x + iy$
  • 복소수의 극좌표 표기법 $z = r e^{i \theta}$
  • 복소수의 부호 $\text{sign}$
  • $i$의 거듭제곱과 $e$의 거듭제곱의 관계
  • 실수의 허수승의 크기는 항상 1이다 $\left| r^{i \theta} \right| = 1$
• 켤레 복소수 $\overline{z}$
• 복소공간의 토폴로지
  • 복소평면에서 실수축의 비개방성 $\mathbb{R}^{\circ} \ne \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$
• 리만 스피어 $\widetilde{\mathbb{C}}$

복소함수

• 복소함수 $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$
• 삼각함수와 지수함수의 관계
• 삼각함수와 쌍곡함수의 관계
• 다가함수와 분기
• 복소수에 대해 일반화된 이항 계수
  • 음이항계수
• 드 무아브르의 정리
  • 드 무아브르의 정리를 이용한 삼각함수의 삼배각 공식 유도
• 에네스트롬-카케야 정리

연속성과 도함수

• 복소함수의 극한
• 해석적 함수: 복소함수의 연속과 미분
  • 해석적 연속
  • 비르팅거 미분
  • 역함수 정리
• 코시-리만 방정식
  • 코시-리만 방정식의 역이 성립하는 조건

특이점

• 복소해석에서 특이점의 종류
• 복소해석에서의 영점
  • 유리형함수의 영점과 극점

적분

• 복소함수의 적분
• ML 보조정리
• 코시 정리
• 복소경로적분의 수축 보조정리
• 코시 적분 공식
  • 푸아송 적분 공식
• 프레넬 적분

코시 적분 공식의 결과물

• 모레라의 정리
• 리우빌의 정리
• 가우스의 평균값 정리
• 대수학의 기본정리
• 최대절댓값 정리
• 슈발츠 보조정리
• 로체의 정리

급수

• 바이어슈트라스 M 판정법
• 복소해석을 사용한 테일러 급수 유도
• 로랑 급수란?
  • 로랑 급수의 주부분과 특이점의 분류
  • 코탄젠트와 코시컨트의 로랑 전개
• 유수 정리
• 극점에서의 유수
• 단순극에서의 유수
• 유수정리를 이용한 모든 정수에 대한 급수의 합 공식
  • 복소해석을 이용한 제곱수의 역수의 합 계산

우회적분

• 복소평면 상에서의 삼각함수 치환을 통한 정적분
• 발산하는 반원 상의 복소경로적분을 통한 유리함수의 이상적분
• 조르당 보조정리
• 조르당 보조정리를 통한 이상적분
• 실수축의 특이점을 포함했을 때 조르당 보조정리를 통한 이상적분
• 다가함수의 이상적분

복소기하

등각사상

• 등각사상이란?
  • 등각사상은 내각의 크기를 보존한다
• 쌍선형변환
  • 확장복소평면에서 원은 쌍선형변환에 대해 불변이다
  • 교차비
• 복소해석학에서의 역점
• 반원을 사분면으로 대응시키는 등각사상
• 부채꼴을 원으로 대응시키는 등각사상
• 포물선을 반평면으로 대응시키는 등각사상
• 등각사상으로써의 지수함수
• 등각사상으로써의 삼각함수
• 쥬코프스키 변환
• 슈발츠-크리스토플 변환

주요 참고문헌

• Osborne (1999). Complex variables and their applications