다변수벡터해석

다변수벡터해석에서는 다음과 같은 함수들의 미분과 적분에 대해서 다룬다.

• 벡터값 함수 $\mathbf{f} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{n}$
• 다변수 함수 $f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$
• 다변수벡터함수 $\mathbf{f} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}$

실수 함수 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$는 해석개론 카테고리 에서 다룬다.

특히 3차원 함수 $f : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}$와 $\mathbf{f} : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3}$는 수학적 엄밀함을 조금 제하고 물리학, 공학 전공자의 수준에 맞춰 수리물리 카테고리에서 다룬다.

유클리드 공간

• 유클리드 공간이란 $\mathbb{R}^{n}$
• 스칼라 함수와 벡터 함수
• 유클리드 공간에서 내적이란
  • 두 벡터 사이의 각도
• n차원 극좌표

벡터값 함수

벡터값 함수 $\mathbf{f} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{n}$에 대한 내용을 다룬다.

미분

• 극한과 연속
• 미분
  • 크기가 일정한 벡터값 함수는 도함수와 직교한다

적분

• 적분

다변수 함수

다변수 함수 $f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$에 대한 내용을 다룬다.

미분

• 전미분
• 방향 도함수
• 그래디언트 $\nabla u = \operatorname{grad}u$
• 라플라시안 $\Delta u = \nabla^{2} u$
• 헤세 행렬
• 테일러 정리
• 스칼라 함수의 벡터와 행렬의 도함수 표 $\nabla \mathbf{w}^{T} R \mathbf{x}$
  • 잔차제곱합의 그래디언트 $\nabla \left\| \mathbf{y} - X \mathbf{w} \right\|_{2}$

적분

• 다변수 함수의 적분

다변수벡터함수

$\mathbf{f} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}$에 대한 내용을 다룬다.

미분

• 전 도함수
• 야코비 행렬(자코비 행렬)
  • 합성함수의 자코비안
• 정칙 사상
• 편 도함수
  • 편미분의 기호를 다르게 쓰는 이유 $d \overset{?}{\to} \partial$
• 다변수 벡터함수의 연쇄법칙
• 역함수 정리
• 벡터 필드의 다이버전스

적분

• 벡터 필드의 볼륨

주요 참고문헌

• Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976)
• William R. Wade, An Introduction to Analysis (4th Edition, 2010)
• James Stewart, Daniel Clegg, and Saleem Watson, Calculus (early transcendentals, 9E)