ラプラス方程式は直交変換に対して不変であることを証明する
📂偏微分方程式ラプラス方程式は直交変換に対して不変であることを証明する
定理
uがラプラス方程式を満たすとしよう。そして、v(x)を以下のように定義しよう。
v(x):=u(Rx)
その時、Rは回転変換だ。だから、v(x)もラプラス方程式を満たす。
Δv=0
説明
実際、上の内容は全ての直交変換に対して成り立つ。したがって、ラプラス方程式が回転変換に不変である事実は、ラプラス方程式が直交変換に不変である事実の特別な場合である。
証明
uがラプラス方程式を満たすとしよう。Oを任意の直交変換としよう。すると、次の式を示すことが証明の目的である。
v(x)=u(Ox) ⟹Δv=0
Oが具体的に以下のようであるとしよう。
O=[oij]=o11o21⋮on1o12o22⋮on2⋯⋯⋱⋯o1no2n⋮onn
すると、次が成り立つ。
Ox=o11o21⋮on1o12o22⋮on2⋯⋯⋱⋯o1no2n⋮onnx1x2⋮xn=o11x1+o12x2+⋯+o1nxno21x1+o22x2+⋯+o2nxn⋮on1x1+on2x2+⋯+onnxn
この時、Ox=yとして以下を得る。
Ox=o11x1+o12x2+⋯+o1nxno21x1+o22x2+⋯+o2nxn⋮on1x1+on2x2+⋯+onnxn=y1y2⋮yn=y
これは、次の式と同じだ。
v(x)=u(y)
vの全微分を求めると、次のようになる。
dv=∂y1∂udy1+∂y2∂udy2+⋯+∂yn∂udyn=uy1dy1+uy2dy2+⋯+uyndyn
したがって、∂xi∂v=vxiは以下のようになる。
vxi=uy1o1i+uy2o2i+⋯+uynoni=j=1∑nuyjoji
同じ方法で、次を得る。
vxixi=k=1∑nj=1∑nuyjykojioki
この時、Oは直交行列であるから、OOT=Iであり、したがって以下の式が成り立つ。
i=1∑nojioki=δjk
それゆえ、次の結果を得る。
Δv=i=1∑nvxixi=i=1∑nk=1∑nj=1∑nuyjykojioki=k=1∑nj=1∑nuyjykδjk=j=1∑nuyjyj=Δu=0
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