logo

ラプラス方程式は直交変換に対して不変であることを証明する 📂偏微分方程式

ラプラス方程式は直交変換に対して不変であることを証明する

定理1

uuラプラス方程式を満たすとしよう。そして、v(x)v(x)を以下のように定義しよう。

v(x):=u(Rx) v(x) :=u(Rx)

その時、RR回転変換だ。だから、v(x)v(x)もラプラス方程式を満たす。

Δv=0 \Delta v=0

説明

実際、上の内容は全ての直交変換に対して成り立つ。したがって、ラプラス方程式が回転変換に不変である事実は、ラプラス方程式が直交変換に不変である事実の特別な場合である。

証明

uuがラプラス方程式を満たすとしよう。OOを任意の直交変換としよう。すると、次の式を示すことが証明の目的である。

v(x)=u(Ox)     Δv=0 v(x)=u(Ox)\ \implies \Delta v=0

OOが具体的に以下のようであるとしよう。

O=[oij]=(o11o12o1no21o22o2non1on2onn) O=[o_{ij}]=\begin{pmatrix} o_{11} & o_{12} & \cdots &o_{1n} \\ o_{21} & o_{22} & \cdots & o_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ o_{n1} & o_{n2} & \cdots & o_{nn} \end{pmatrix}

すると、次が成り立つ。

Ox=(o11o12o1no21o22o2non1on2onn)(x1x2xn)=(o11x1+o12x2++o1nxno21x1+o22x2++o2nxnon1x1+on2x2++onnxn) Ox=\begin{pmatrix} o_{11} & o_{12} & \cdots &o_{1n} \\ o_{21} & o_{22} & \cdots & o_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ o_{n1} & o_{n2} & \cdots & o_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} o_{11}x_{1} + o_{12}x_{2} + \cdots +o_{1n}x_{n} \\ o_{21}x_{1}+ o_{22}x_{2}+ \cdots + o_{2n}x_{n} \\ \vdots \\ o_{n1}x_{1}+ o_{n2}x_{2}+ \cdots +o_{nn}x_{n} \end{pmatrix}

この時、Ox=yOx=yとして以下を得る。

Ox=(o11x1+o12x2++o1nxno21x1+o22x2++o2nxnon1x1+on2x2++onnxn)=(y1y2yn)=y Ox=\begin{pmatrix} o_{11}x_{1} + o_{12}x_{2} + \cdots +o_{1n}x_{n} \\ o_{21}x_{1}+ o_{22}x_{2}+ \cdots + o_{2n}x_{n} \\ \vdots \\ o_{n1}x_{1}+ o_{n2}x_{2}+ \cdots +o_{nn}x_{n} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{n} \end{pmatrix}=y

これは、次の式と同じだ。

v(x)=u(y) v(x)=u(y)

vv全微分を求めると、次のようになる。

dv=uy1dy1+uy2dy2++uyndyn=uy1dy1+uy2dy2++uyndyn \begin{align*} dv &=\dfrac{\partial u}{\partial y_{1}}dy_{1}+\dfrac{\partial u}{\partial y_{2}}dy_{2}+\cdots + \dfrac{\partial u}{\partial y_{n}}dy_{n} \\ &= u_{y_{1}}dy_{1} + u_{y_{2}}dy_{2} + \cdots +u_{y_{n}}dy_{n} \end{align*}

したがって、vxi=vxi\dfrac{\partial v}{\partial x_{i}}=v_{x_{i}}は以下のようになる。

vxi=uy1o1i+uy2o2i++uynoni=j=1nuyjoji v_{x_{i}} = u_{y_{1}}o_{1i}+u_{y_{2}}o_{2i}+\cdots + u_{y_{n}}o_{ni}=\sum \limits_{j=1}^{n} u_{y_{j}}o_{ji}

同じ方法で、次を得る。

vxixi=k=1nj=1nuyjykojioki v_{x_{i}x_{i}}=\sum \limits_{k=1}^{n} \sum \limits_{j=1}^{n} u_{y_{j}y_{k}}o_{ji}o_{ki}

この時、OOは直交行列であるから、OOT=IOO^T=Iであり、したがって以下の式が成り立つ。

i=1nojioki=δjk \sum \limits_{i=1}^{n} o_{ji}o_{ki}=\delta_{jk}

それゆえ、次の結果を得る。

Δv=i=1nvxixi=i=1nk=1nj=1nuyjykojioki=k=1nj=1nuyjykδjk=j=1nuyjyj=Δu=0 \begin{align*} \Delta v=\sum_{i=1}^{n} v_{x_{i}x_{i}} &= \sum \limits_{i=1}^{n}\sum \limits_{k=1}^{n} \sum \limits_{j=1}^{n} u_{y_{j}y_{k}}o_{ji}o_{ki} \\ &= \sum \limits_{k=1}^{n} \sum \limits_{j=1}^{n} u_{y_{j}y_{k}}\delta_{jk} \\ &= \sum \limits_{j=1}^{n} u_{y_{j}y_{j}} \\ &= \Delta u=0 \end{align*}


  1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations (第2版, 2010), p85(問題2) ↩︎