📂偏微分方程式

外向き単位法線ベクトル

定義¹

$U\subset \mathbb{R}^{n}$を開集合とする。$U$の境界 $\partial U$が$\partial U \in C^1$だとする。そうすると、以下のような外向きの単位法線ベクトルを定義できる。

$$ \boldsymbol{\nu}=(\nu^{1}, \nu^{2}, \dots, \nu^{n}) \quad \text{and} \quad |\boldsymbol{\nu}|=1 $$

$\boldsymbol{\nu}$は境界のある点に接しており、大きさが1で外側を向いているベクトルである。これを$u \in C^{1}(\bar{U})$としよう。すると、方向微分 $\dfrac{\partial u}{\partial \nu}$を以下のように定義する。

$$ \dfrac{\partial u}{\partial \nu} := \boldsymbol{\nu} \cdot Du=(\nu^1,\cdots,\nu^n)\cdot(u_{x_{1}}, \cdots, u_{x_{n}}) $$

$D=D^{1}$は多重指数表記であり、$Du$は$u$の勾配である。