📂フーリエ解析

フーリエ係数の極限は0である

定理

フーリエ係数 $a_{n}, b_{n}$と複素フーリエ係数 $c_{\pm n}$は限界$n \rightarrow \infty$だ

$$\begin{align*} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} &= 0 \\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n} &= 0 \\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} c_{\pm n} &= 0 \end{align*}$$

証明

ベッセルの不等式によって、フーリエ係数の合計が収束することが分かっている。

$$\dfrac{1}{4}|a_{0}|^2 +\dfrac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(|a_{n}|^2 + |b_{n}|^2 \right) =\sum \limits_{-\infty}^{\infty} | c_{n} |^2 \le \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} | f(t)|^2 dt$$

だから、$|a_{n}|^2,\ |b_{n}|^2,\ |c_{\pm n}|^2$は収束する級数の$n$番目の項だ。級数が収束すると、数列の極限は0 だから。

$$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} |a_{n}|^2=0$$

$$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} |b_{n}|^2=0$$

$$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} |c_{\pm n}|^2=0$$

だから、

$$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$$

$$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=0$$

$$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} c_{\pm n}=0$$

■