フーリエ係数の極限は0である
定理
フーリエ係数 $a_{n}, b_{n}$と複素フーリエ係数 $c_{\pm n}$は限界$n \rightarrow \infty$だ
$$ \begin{align*} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} &= 0 \\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n} &= 0 \\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} c_{\pm n} &= 0 \end{align*} $$
証明
ベッセルの不等式によって、フーリエ係数の合計が収束することが分かっている。
$$ \dfrac{1}{4}|a_{0}|^2 +\dfrac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(|a_{n}|^2 + |b_{n}|^2 \right) =\sum \limits_{-\infty}^{\infty} | c_{n} |^2 \le \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} | f(t)|^2 dt $$
だから、$|a_{n}|^2,\ |b_{n}|^2,\ |c_{\pm n}|^2$は収束する級数の$n$番目の項だ。級数が収束すると、数列の極限は0 だから。
$$ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} |a_{n}|^2=0 $$
$$ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} |b_{n}|^2=0 $$
$$ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} |c_{\pm n}|^2=0 $$
だから、
$$ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=0 $$
$$ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=0 $$
$$ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} c_{\pm n}=0 $$
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