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導関数のフーリエ係数 📂フーリエ解析

導関数のフーリエ係数

式

区間 [−L, L)[-L,\ L)で定義された関数ffが連続で、部分的に滑らかであるとしよう。するとf′f^{\prime}のフーリエ係数は次の通りである。

an′=nπLbn a^{\prime}_{n}=\dfrac{n\pi}{L}b_{n}

bn′=−nπLan b^{\prime}_{n}=-\dfrac{n\pi}{L}a_{n}

cn′=inπLcn c^{\prime}_{n}=\dfrac{in\pi}{L}c_{n} この時、an, bna_{n},\ b_{n}はffのフーリエ係数、cnc_{n}はffの複素フーリエ係数である。

証明

cn′=12L∫−LLf′(t)e−inπtLdt=12L[f(t)e−inπtL]−LL+inπL12L∫−LLf(t)e−inπLtdt=12Lf(t)[e−inπ−einπ]+inπLcn=12Lf(t)[(−1)−n−(−1)n]+inπLcn=12Lf(t)(−1)n[(−1)−2n−1]+inπLcn=inπLcn \begin{align*} c^{\prime}_{n} &=\dfrac{1}{2L}\int _{-L}^{L} f^{\prime}(t)e^{-i\frac{n\pi t}{L}}dt \\ &= \dfrac{1}{2L}\left[ f(t)e^{-i\frac{n\pi t}{L}} \right]_{-L}^{L} +\dfrac{in \pi}{L}\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} f(t)e^{-i\frac{n \pi}{L}t} dt \\ &= \dfrac{1}{2L}f(t)\left[ e^{-in\pi} -e^{in\pi}\right] +\dfrac{in \pi}{L}c_{n} \\ &= \dfrac{1}{2L}f(t)\left[ (-1)^{-n} -(-1)^{n}\right] +\dfrac{in \pi}{L}c_{n} \\ &= \dfrac{1}{2L}f(t)(-1)^{n}\left[ (-1)^{-2n} -1 \right] +\dfrac{in \pi}{L}c_{n} \\ &= \dfrac{in \pi}{L}c_{n} \end{align*}

二番目の等号は部分積分によって成立する。

an′=1L∫−LLf′(t)cos⁡nπtLdt=1L[f(t)cos⁡nπtL]−LL+nπL1L∫−LLf(t)sin⁡nπtLdt=1Lf(t)(cos⁡nπ−cos⁡nπ)+nπLbn=nπLbn \begin{align*} a^{\prime}_{n} &= \dfrac{1}{L}\int _{-L}^{L} f^{\prime}(t)\cos \frac{n\pi t}{L} dt \\ &= \dfrac{1}{L}\left[ f(t)\cos \dfrac{n\pi t}{L} \right]_{-L}^{L} +\dfrac{n\pi}{L}\dfrac{1}{L}\int _{-L}^{L} f(t)\sin \dfrac{n\pi t}{L} dt \\ &= \dfrac{1}{L}f(t)\left( \cos n\pi -\cos n\pi \right) +\dfrac{n\pi}{L}b_{n} \\ &= \dfrac{n\pi}{L}b_{n} \end{align*}

二番目の等号は部分積分によって成立する。

bn′=1L∫−LLf′(t)sin⁡nπtLdt=1L[f(t)sin⁡nπtL]−LL−nπL1L∫−LLf(t)cos⁡nπtLdt=1Lf(t)(sin⁡nπ+sin⁡nπ)−nπLan=−nπLan\begin{align*} b^{\prime}_{n} &= \dfrac{1}{L}\int _{-L}^{L} f^{\prime}(t)\sin \dfrac{n\pi t}{L} dt \\ &= \dfrac{1}{L}\left[ f(t)\sin \dfrac{n\pi t}{L} \right]_{-L}^{L} -\dfrac{n\pi}{L}\dfrac{1}{L}\int _{-L}^{L} f(t)\cos \dfrac{n\pi t}{L} dt \\ &= \dfrac{1}{L}f(t)\left( \sin n\pi + \sin n\pi \right) -\dfrac{n\pi}{L}a_{n} \\ &= -\dfrac{n\pi}{L}a_{n} \end{align*}

二番目の等号は部分積分によって成立する。

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