チェビシェフの微分方程式とチェビシェフ多項式
定義
次の微分方程式をチェビシェフChebyshev の微分方程式と呼ぶ。
$$ \begin{equation} (1-x^2)\dfrac{d^2 y}{dx^2} -x\dfrac{dy}{dx}+n^2 y=0 \label{def1} \end{equation} $$
チェビシェフ微分方程式の解をチェビシェフ多項式と呼び、通常、$T_{n}(x)$で表記する。$T_{n}(x)$の一般項は以下のとおりである。
$n$が偶数の場合
$$ 1-\dfrac{\lambda^2}{2!}x^2+\dfrac{\lambda^2(\lambda^2-2^2)}{4!}x^4+\sum \limits_{m=3}^\infty (-1)^m \dfrac{\lambda^2(\lambda^2-2^2)\cdots(\lambda^2-(2m-2)^2)}{(2m)!} x^{2m} $$
$n$が奇数の場合
$$ x-\dfrac{\lambda^2-1^2}{3!}x^3+\dfrac{(\lambda^2-1^2)(\lambda^2-3^2)}{5!}x^5+\sum \limits_{m=3}^\infty (-1)^m\dfrac{(\lambda^2-1^2)(\lambda^2-3^2) \cdots (\lambda^2-(2m-1)^2)}{(2m+1)!} x^{2m+1} $$
特に、最初の数個の多項式は以下の通りである。
$$ \begin{align*} T_{0}(x) &= 1 \\ T_{1}(x) &= x \\ T_2(x) &= 2x^2-1 \\ T_{3}(x) &= 4x^3-3x \\ \vdots & \end{align*} $$
定理
チェビシェフ多項式 $T_{n}$に対して、次の等式が成り立つ。
$$ T_{n}(\cos t)= \cos (nt) $$
説明
$T_{n}(x)$は$x$に関する$n$次の多項式であったので、$T_{n}(\cos t)$は$\cos t$に関する多項式である。したがってチェビシェフ多項式は$\cos (nt)$を$\cos t$に関する$n$次の多項式として展開したものとも理解できる。
$n=2,\ 3$の時に、うまく合うか確認すると
$$ \cos 2t=\cos ^2 t-1=T_2(\cos t)\iff T_2(x)=x^2-1 $$
$$ \cos 3t=4\cos ^3 t-3\cos t=T_{3}(\cos t) \iff T_{3}(x)=4x^3-3x $$
また、$x=\cos t$ので、$\arccos x=t$になり、上の式に代入すると
$$ T_{n}(x)=\cos(n\arccos x) \quad \text{or} \quad T_{n}(x) = \cos (n\cos^{-1}x) $$
証明
戦略: $x=\cos t$で置換した時に、$y=\cos (nt)$がチェビシェフの微分方程式の解になることを示す。
$x=\cos t$とすると
$$ dx=-\sin t dt \quad \implies \quad \dfrac{dt}{dx}=-\dfrac{1}{\sin t} $$
したがって、$y^{\prime}$は次のようになる。
$$ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dt} \dfrac{dt}{dx}=-\dfrac{1}{\sin t}\dfrac{dy}{dt} $$
$y^{\prime \prime}$は以下の通りである。
$$ \begin{align*} \dfrac{d^2 y}{dx^2} &= \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{dy}{dx}\right) \\ &= \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx} \right) \dfrac{dt}{dx} \\ &=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{1}{\sin t}\dfrac{dy}{dt}\right) \dfrac{1}{\sin t} \\ &= \dfrac{1}{\sin t} \left( \dfrac{-\cos t}{\sin^2 t}\dfrac{dy}{dt}+\dfrac{1}{\sin t}\dfrac{d^2y}{dt^2} \right) \\ &= \dfrac{1}{\sin ^2 t} \left( \dfrac{-\cos t}{\sin t}\dfrac{dy}{dt}+ \dfrac{d^2y}{dt^2} \right) \end{align*} $$
上記の式を$\eqref{def1}$に代入すると、次のようになる。
$$ (1-\cos ^2t)\dfrac{1}{\sin ^2 t} \left( \dfrac{-\cos t}{\sin t}\dfrac{dy}{dt}+ \dfrac{d^2y}{dt^2} \right)-\cos t \left( -\dfrac{1}{\sin t} \right)\dfrac{dy}{dt} +n^2y=0 $$
整理すると
$$ y^{\prime \prime}+n^2y=0 $$
よって$T_{n}(\cos t)$は上記の微分方程式の解になる。だが、その式はとても簡単な2次微分方程式であり、一般解は$y=C_{1}\cos (nt) + C_2\sin (nt)$である。したがって、
$$ T_{n}(\cos t)=\cos (nt) $$
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