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チェビシェフ微分方程式の直列解法 📂微分方程式

チェビシェフ微分方程式の直列解法

定義

次の微分方程式をチェビシェフChebyshev 微分方程式という。

(1−x2)d2ydx2−xdydx+n2y=0 (1-x^2)\dfrac{d^2 y}{dx^2} -x\dfrac{dy}{dx}+n^2 y=0

説明

係数に独立変数 xxが含まれる形式であり、解がべき級数の形であると仮定すると、解くことができる。チェビシェフ方程式の解をチェビシェフ多項式と言い、解は一般的にTn(x)T_{n}(x)と表される。

解法

(1−x2)y′′−xy′+λ2y=0 \begin{equation} (1-x^2)y^{\prime \prime} -xy^{\prime}+\lambda^2 y=0 \label{1} \end{equation}

上で示したチェビシェフ微分方程式の解を次のように仮定しよう。

y=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+⋯=∑n=0∞an(x−x0)n y=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_2(x-x_{0})^2+\cdots=\sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}(x-x_{0})^n

このときx=0x=0であるときy′′y^{\prime \prime}の係数が(1−x2)∣x=0=1≠0(1-x^2)|_{x=0}=1\ne 0であるので、x0=0x_{0}=0としよう。すると

y=a0+a1x+a2x2+⋯=∑n=0∞anxn \begin{equation} y=a_{0}+a_{1}x+a_2x^2+\cdots=\sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}x^n \label{2} \end{equation}

べき級数解として解法を始めるが、解法の最後に実際にはyyの項が有限であることが分かる。今(1)\eqref{1}に代入するために、y′y^{\prime}とy′′y^{\prime \prime}を求めよう。

y′=a1+2a2x+3a3x2+⋯=∑n=1∞nanxn−1 y^{\prime}=a_{1}+2a_2x+3a_{3}x^2+\cdots=\sum \limits_{n=1}^\infty na_{n}x^{n-1}

y′′=2a2+3⋅2a3x+4⋅3a4x2+⋯=∑n=2n(n−1)anxn−2 y^{\prime \prime}=2a_2+3\cdot 2a_{3}x+4\cdot 3 a_{4}x^2 +\cdots = \sum \limits_{n=2} n(n-1)a_{n}x^{n-2}

(1)\eqref{1}にy,y′,y′′y, y^{\prime}, y^{\prime \prime}を代入すると次のようになる。

(1−x2)∑n=2∞n(n−1)anxn−2−x∑n=1∞nanxn−1+λ2∑n=0∞anxn=0 (1-x^2)\sum \limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}x^{n-2} -x\sum \limits_{n=1}^\infty na_{n}x^{n-1}+\lambda^2 \sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}x^n=0

一番目の項の係数(1−x2)(1-x^2)の括弧を外して整理すると

∑n=2∞n(n−1)anxn−2−x2∑n=2∞n(n−1)anxn−2−x∑n=1∞nanxn−1+λ2∑n=0∞anxn=0 \sum \limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}x^{n-2} -x^2\sum \limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}x^{n-2} -x\sum \limits_{n=1}^\infty na_{n}x^{n-1}+\lambda^2 \sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}x^n = 0

  ⟹  ∑n=2∞n(n−1)anxn−2−∑n=2∞n(n−1)anxn−∑n=1∞nanxn+λ2∑n=0∞anxn=0 \implies \sum \limits_{n=2} ^\infty n(n-1)a_{n}x^{n-2} -\sum \limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}x^{n} -\sum \limits_{n=1}^\infty na_{n}x^{n}+\lambda^2 \sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}x^n = 0

ここでのポイントはxxの次数を合わせることである。残りはすべてxnx^nとして表されるが、最初の級数だけがxn−2x^{n-2}で表されているので、nnの代わりにn+2n+2を代入すると

∑n=0∞(n+2)(n+1)an+2xn−∑n=2∞n(n−1)anxn−∑n=1∞nanxn+λ2∑n=0∞anxn=0 \sum \limits_{n=0} ^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n} -\sum \limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}x^{n} -\sum \limits_{n=1}^\infty na_{n}x^{n}+\lambda^2 \sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}x^n=0

二番目の級数がx2x^2項から始まるので、残りの級数からn=0,1n=0,1の項を取り除いて、定数項は定数項同士、一次項は一次項同士をまとめると

[2⋅1a2+λ2a0]+[3⋅2a3−a1+λ2a1]x+∑n=2∞[(n+2)(n+1)an+2−n(n−1)an−nan+λ2an]xn=0 \left[ 2\cdot 1 a_2+\lambda^2 a_{0} \right]+\left[ 3\cdot 2 a_{3}-a_{1}+\lambda^2a_{1} \right]x \\ + \sum \limits_{n=2}^\infty \left[ (n+2)(n+1)a_{n+2}-n(n-1)a_{n}-na_{n}+\lambda^2a_{n} \right] x^n=0

上の式が成り立つためには、すべての係数が00でなければならない。

2⋅1a2+λ2a0=0 2\cdot 1 a_2+\lambda^2 a_{0} = 0

3⋅2a3−a1+λ2a1=0 3\cdot 2 a_{3}-a_{1}+\lambda^2a_{1} =0

(n+2)(n+1)an+2−n(n−1)an−nan+λ2an=0 (n+2)(n+1)a_{n+2}-n(n-1)a_{n}-na_{n}+\lambda^2a_{n}=0

それぞれを整理すると

a2=−λ22⋅1a0a3=−λ2−123⋅2a1an+2=−λ2−n2(n+2)(n+1)an \begin{align} a_2 &= -\dfrac{\lambda^2}{2 \cdot 1}a_{0} \label{3} \\ a_{3} &=-\dfrac{\lambda^2-1^2}{3\cdot 2} a_{1} \label{4} \\ a_{n+2} &= -\dfrac{\lambda^2-n^2}{(n+2)(n+1)}a_{n} \label{5} \end{align}

漸化式(5)\eqref{5}を得たので、a0a_{0}とa1a_{1}の値さえ分かれば、すべての係数が分かる。(3),(5)\eqref{3}, \eqref{5}から偶数次の項の係数を求めると

a4=−λ2−224⋅3a2=λ2(λ2−22)4!a0a6=−λ2−426⋅5a4=−λ2(λ2−22)(λ2−42)6!a0⋮ \begin{align*} a_{4} &= -\dfrac{\lambda^2-2^2}{4\cdot 3}a_2=\dfrac{\lambda^2(\lambda^2-2^2)}{4!}a_{0} \\ a_{6} &= -\dfrac{\lambda^2-4^2}{6\cdot 5}a_{4}= -\dfrac{\lambda^2(\lambda^2-2^2)(\lambda^2-4^2)}{6!}a_{0} \\ &\vdots \end{align*}

ここでn=2m(m=1,2,3,⋯ )n=2m (m=1,2,3,\cdots)とすると

an=a2m=(−1)mλ2(λ2−22)⋯(λ2−(2m−2)2)(2m)!a0 a_{n}=a_{2m}=(-1)^m \dfrac{\lambda^2(\lambda^2-2^2)\cdots(\lambda^2-(2m-2)^2)}{(2m)!}a_{0}

同様に(4),(5)\eqref{4}, \eqref{5}から奇数次の項の係数を求めると

a5=−λ2−325⋅4a3=(λ2−12)(λ2−32)5!a1a7=−λ2−527⋅6a5=−(λ2−12)(λ2−32)(λ2−52)7!a1⋮ \begin{align*} a_{5} &= -\dfrac{\lambda^2-3^2}{5\cdot 4}a_{3}=\dfrac{(\lambda^2-1^2)(\lambda^2-3^2)}{5!}a_{1} \\ a_{7} &= -\dfrac{\lambda^2-5^2}{7\cdot 6 }a_{5}=-\dfrac{(\lambda^2-1^2)(\lambda^2-3^2)(\lambda^2-5^2)}{7!}a_{1} \\ &\vdots \end{align*}

ここでn=2m+1(m=1,2,3,⋯ )n=2m+1 (m=1,2,3,\cdots)とすると

an=a2m+1=(−1)m(λ2−12)(λ2−32)⋯(λ2−(2m−1)2)(2m+1)!a1 a_{n}=a_{2m+1}=(-1)^m\dfrac{(\lambda^2-1^2)(\lambda^2-3^2) \cdots (\lambda^2-(2m-1)^2)}{(2m+1)!}a_{1}

このように求めた係数を(2)\eqref{2}に代入して解を求めると

y=a0+a1x−λ22!a0x2−λ2−123!a1x3+λ2(λ2−22)4!a0x4+(λ2−12)(λ2−32)5!a1x5+⋯+(−1)mλ2(λ2−22)⋯(λ2−(2m−2)2)(2m)!a0x2m+(−1)m(λ2−12)(λ2−32)⋯(λ2−(2m−1)2)(2m+1)!a1x2m+1+⋯(m=1,2,3,⋯ ) \begin{align*} y = &a_{0}+a_{1}x -\dfrac{\lambda^2}{2!}a_{0}x^2-\dfrac{\lambda^2-1^2}{3!} a_{1}x^3 + \dfrac{\lambda^2(\lambda^2-2^2)}{4!}a_{0}x^4 \\ &+\dfrac{(\lambda^2-1^2)(\lambda^2-3^2)}{5!}a_{1}x^5+ \cdots +(-1)^m \dfrac{\lambda^2(\lambda^2-2^2)\cdots(\lambda^2-(2m-2)^2)}{(2m)!}a_{0}x^{2m} \\ &+(-1)^m\dfrac{(\lambda^2-1^2)(\lambda^2-3^2) \cdots (\lambda^2-(2m-1)^2)}{(2m+1)!}a_{1}x^{2m+1}+\cdots\quad(m=1,2,3,\cdots) \end{align*}

このとき偶数次の項はa0a_{0}で、奇数次の項はa1a_{1}でまとめると

y=a0[1−λ22!x2+λ2(λ2−22)4!x4+∑m=3∞(−1)mλ2(λ2−22)⋯(λ2−(2m−2)2)(2m)!x2m+⋯ ]+a1[x−λ2−123!x3+(λ2−12)(λ2−32)5!x5+∑m=3∞(−1)m(λ2−12)(λ2−32)⋯(λ2−(2m−1)2)(2m+1)!x2m+1+⋯ ] \begin{align*} y&=a_{0}\left[1-\dfrac{\lambda^2}{2!}x^2+\dfrac{\lambda^2(\lambda^2-2^2)}{4!}x^4+\sum \limits_{m=3}^\infty (-1)^m \dfrac{\lambda^2(\lambda^2-2^2)\cdots(\lambda^2-(2m-2)^2)}{(2m)!} x^{2m} + \cdots \right] \\ & + a_{1}\left[x-\dfrac{\lambda^2-1^2}{3!}x^3+\dfrac{(\lambda^2-1^2)(\lambda^2-3^2)}{5!}x^5+\sum \limits_{m=3}^\infty (-1)^m\dfrac{(\lambda^2-1^2)(\lambda^2-3^2) \cdots (\lambda^2-(2m-1)^2)}{(2m+1)!} x^{2m+1} + \cdots\right] \end{align*}

最初の括弧をy0y_{0}、二番目の括弧をy1y_{1}とすると、チェビシェフ方程式の一般解は次のようになる。

y=a0y0+a1y1 y=a_{0}y_{0}+a_{1}y_{1}

二つの級数y0y_{0}とy1y_{1}は比率判定法により∣x∣<1|x|<1の範囲で収束することが分かる。(5)\eqref{5}によりan+2an=n2−λ2(n+2)(n+1)=n2−λ2n2+3n+2\dfrac{a_{n+2}}{a_{n}}=\dfrac{n^2-\lambda^2}{(n+2)(n+1)}=\dfrac{n^2-\lambda^2}{n^2+3n+2}であるため比率判定法を使うと

lim⁡n→∞n2−λ2n2+3n+2x2=x2<1 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{n^2-\lambda^2}{n^2+3n+2}x^2=x^2<1

  ⟹  −1<x<1 \implies -1<x<1

しかし、多くの問題ではx=cos⁡θx=\cos \theta、λ\lambdaは非負の整数の形で表され、すべてのθ\thetaに対して収束する解を求めることが目標である。すなわち、x=±1x=\pm 1でも収束する解を見つけることが目標である。幸いにもλ\lambdaが整数の場合、求める解が存在するが、このときλ\lambdaの値によって必ずy0,y1y_{0}, y_{1}のどちらか一方の解のみが存在する。λ\lambdaが00または偶数の場合はy1y_{1}が発散し、y0y_{0}は偶数次の項だけを持つ有限項の多項式となる。λ\lambdaが奇数の場合はy0y_{0}が発散し、y1y_{1}は奇数次の項だけを持つ有限項の多項式となる。表で整理すると以下のようになる。

λ\lambdaの値y0y_{0}y1y_{1}方程式の解
00または偶数有限項の多項式発散y=a0y0y=a_{0}y_{0}
奇数発散有限項の多項式y=a1y1y=a_{1}y_{1}

  • ケース 1. λ\lambdaが00または偶数の場合

    • λ=0\lambda=0の場合、2次項からλ2\lambda^2を因数として持っており、すべて00になるためy0=1y_{0}=1

    • λ=2\lambda=2の場合、4次項から(λ2−22)(\lambda^2-2^2)を因数として持っており、すべて00になるためy0=1−x2y_{0}=1-x^2

    • λ=4\lambda=4の場合、6次項から(λ2−42)(\lambda^2-4^2)を因数として持っており、すべて00になるためy0=1−8x2+8x4y_{0}=1-8x^2+8x^4

    そしてλ=0\lambda=0の場合、x=1x=1のy1=1+13!+1⋅325!+⋯y_{1}=1+\frac{1}{3!}+\frac{1\cdot3^2}{5!}+\cdotsは発散する。他の偶数の場合も同じである。したがって、λ\lambdaが00または偶数の場合は、解が偶数次の項のみを持つ有限項の多項式となる。つまり、級数y0y_{0}の特定の項までのみ残る形の解を得る。λ\lambdaが奇数の場合は、反対の結果を得る。

  • ケース 2. λ\lambdaが奇数の場合

    • λ=1\lambda=1の場合、3次項から(λ2−12)(\lambda^2-1^2)を因数として持っており、すべて00になるためy1=xy_{1}=x

    • λ=3\lambda=3の場合、5次項から(λ2−32)(\lambda^2-3^2)を因数として持っており、すべて00になるためy1=−3x+4x3y_{1}=-3x+4x^3

    • λ=5\lambda=5の場合、7次項から(λ2−52)(\lambda^2-5^2)を因数として持っており、すべて00になるためy1=5x−20x3+16x5y_{1}=5x-20x^3+16x^5

    λ=1\lambda=1の場合、x2=1x^2=1のy0y_{0}は発散する。他の奇数の場合も同じである。したがって、λ\lambdaが奇数の場合は、解が奇数次の項のみを持つ有限項の多項式となる。つまり、級数y1y_{1}の特定の項までのみ残る形の解を得る。

そしてλ\lambdaが負の場合は、λ\lambdaが正の場合と同じであることが、y0y_{0}とy1y_{1}を見ると分かる。例えば、λ=2\lambda=2の場合とλ=−2\lambda=-2の場合が同じであり、λ=1\lambda=1の場合とλ=−1\lambda=-1の場合が同じである。したがって、λ\lambdaは非負の整数の範囲で考えればよい。a0a_{0}とa1a_{1}の値をうまく選択して、x=1x=1のときの解がy(x)=1y(x)=1になるようにすれば、これをチェビシェフ多項式Chebyshev polynomialと言い、通常Tn(x)T_{n}(x)と表記される。初めのいくつかのチェビシェフ多項式は以下のようである。

T0(x)=1T1(x)=xT2(x)=2x2−1T3(x)=4x3−3xT4(x)=8x4−8x2+1T5(x)=16x5−20x3+5x⋮ \begin{align*} T_{0}(x) &= 1 \\ T_{1}(x) &= x \\ T_2(x) &= 2x^2-1 \\ T_{3}(x) &= 4x^3-3x \\ T_{4}(x) &= 8x^4-8x^2+1 \\ T_{5}(x) &= 16x^5-20x^3+5x \\ \vdots & \end{align*}

関連項目