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対数の底の変換公式の導出 📂関数

対数の底の変換公式の導出

公式

任意の正数 c>0c>0 に対して、 log⁡ab=log⁡cblog⁡ca \log_{a} b = {{ \log_{c} b } \over { \log_{c} a }}

説明

現代において、公式自体の意味はなくなったが、入試ではまだ重要な公式である。簡単な性質と侮らずに、‘公式’という名に恥じないレベルの演習問題をたくさん解くことをお勧めする。

導出

x:=log⁡abx := \log_{a} b とすると、ログの定義により ax=b a^x = b 両辺に log⁡c\log_{c} を取ると、 log⁡cax=log⁡cb \log_{c} a^x = \log_{c} b ログの性質により、xx を下ろすと、 xlog⁡ca=log⁡cb x \log_{c} a = \log_{c} b 両辺を log⁡ca\log_{c} a で割ると、 x=log⁡cblog⁡ca x = {{ \log_{c} b } \over { \log_{c} a }} でも、初めに x=log⁡abx = \log_{a} b と言ったので、 log⁡ab=log⁡cblog⁡ca \log_{a} b = {{ \log_{c} b } \over { \log_{c} a }}

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