負の二項分布の平均と分散
公式
$X \sim \text{NB}(r, p)$ 面 $$ E(X) = {{ r (1-p) } \over { p }} \\ \text{Var}(X) = {{ r (1-p) } \over { p^{2} }} $$
証明
戦略: 負の二項分布が幾何分布の一般化だという点を利用する。
- [b] 幾何分布の一般化: $Y = X_{1} + \cdots + X_{r}$ かつ $X_{i} \overset{\text{iid}}{\sim} \text{Geo}(p)$ ならば $Y \sim \text{NB}(r,p)$
この時、幾何分布の定義は負の二項分布と同様にそのサポートが$\mathcal{S} = \left\{ 0 , 1 , 2, \cdots \right\}$ となるようにする。
幾何分布の平均と分散: $X \sim \text{Geo} (p)$ ならば $$ E(X) = {{ 1-p } \over { p }} \\ \text{Var}(X) = {{ 1-p } \over { p^{2} }} $$
平均
$Y=X_1+X_2+\cdots+X_r$ だから $$ \begin{align*} E(Y) =& E(X_1)+E(X_2)+\cdots+E(X_r) \\ =& \sum_{i=1}^{r} E(X_i) \\ =& { {r(1-p)} \over p } \end{align*} $$ $Y \sim \text{NB} (r,p)$ だから $\displaystyle E(Y) = { {r(1-p)} \over p }$
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分散
$Y=X_1+X_2+\cdots+X_r$かつ$X_1, X_2, \cdots , X_r$が相互に独立なので共分散は$0$である。 $$ \begin{align*} Var(Y) =& Var(X_1)+Var(X_2)+\cdots+Var(X_r) \\ =& \sum_{i=1}^{r} Var(X_i) \\ =& \frac { r(1-p) }{ { p }^{ 2 } } \end{align*} $$ $Y \sim \text{NB} (r,p)$だから$\displaystyle Var(Y) = \frac { r(1-p) }{ { p }^{ 2 } }$
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