logo

負の二項分布の平均と分散 📂確率分布論

負の二項分布の平均と分散

公式

XNB(r,p)X \sim \text{NB}(r, p)E(X)=r(1p)pVar(X)=r(1p)p2 E(X) = {{ r (1-p) } \over { p }} \\ \Var(X) = {{ r (1-p) } \over { p^{2} }}

証明

戦略: 負の二項分布幾何分布の一般化だという点を利用する。

  • [b] 幾何分布の一般化: Y=X1++XrY = X_{1} + \cdots + X_{r} かつ XiiidGeo(p)X_{i} \overset{\text{iid}}{\sim} \text{Geo}(p) ならば YNB(r,p)Y \sim \text{NB}(r,p)

この時、幾何分布の定義は負の二項分布と同様にそのサポートがS={0,1,2,}\mathcal{S} = \left\{ 0 , 1 , 2, \cdots \right\} となるようにする。

幾何分布の平均と分散: XGeo(p)X \sim \text{Geo} (p) ならば E(X)=1ppVar(X)=1pp2 E(X) = {{ 1-p } \over { p }} \\ \Var(X) = {{ 1-p } \over { p^{2} }}

平均

Y=X1+X2++XrY=X_1+X_2+\cdots+X_r だから E(Y)=E(X1)+E(X2)++E(Xr)=i=1rE(Xi)=r(1p)p \begin{align*} E(Y) =& E(X_1)+E(X_2)+\cdots+E(X_r) \\ =& \sum_{i=1}^{r} E(X_i) \\ =& { {r(1-p)} \over p } \end{align*} YNB(r,p)Y \sim \text{NB} (r,p) だから E(Y)=r(1p)p\displaystyle E(Y) = { {r(1-p)} \over p }

分散

Y=X1+X2++XrY=X_1+X_2+\cdots+X_rかつX1,X2,,XrX_1, X_2, \cdots , X_r相互に独立なので共分散は00である。 Var(Y)=Var(X1)+Var(X2)++Var(Xr)=i=1rVar(Xi)=r(1p)p2 \begin{align*} Var(Y) =& Var(X_1)+Var(X_2)+\cdots+Var(X_r) \\ =& \sum_{i=1}^{r} Var(X_i) \\ =& \frac { r(1-p) }{ { p }^{ 2 } } \end{align*} YNB(r,p)Y \sim \text{NB} (r,p)だからVar(Y)=r(1p)p2\displaystyle Var(Y) = \frac { r(1-p) }{ { p }^{ 2 } }