負の二項分布の平均と分散
📂確率分布論負の二項分布の平均と分散
公式
X∼NB(r,p) 面
E(X)=pr(1−p)Var(X)=p2r(1−p)
証明
戦略: 負の二項分布が幾何分布の一般化だという点を利用する。
- [b] 幾何分布の一般化: Y=X1+⋯+Xr かつ Xi∼iidGeo(p) ならば Y∼NB(r,p)
この時、幾何分布の定義は負の二項分布と同様にそのサポートがS={0,1,2,⋯} となるようにする。
幾何分布の平均と分散: X∼Geo(p) ならば
E(X)=p1−pVar(X)=p21−p
平均
Y=X1+X2+⋯+Xr だから
E(Y)===E(X1)+E(X2)+⋯+E(Xr)i=1∑rE(Xi)pr(1−p)
Y∼NB(r,p) だから E(Y)=pr(1−p)
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分散
Y=X1+X2+⋯+XrかつX1,X2,⋯,Xrが相互に独立なので共分散は0である。
Var(Y)===Var(X1)+Var(X2)+⋯+Var(Xr)i=1∑rVar(Xi)p2r(1−p)
Y∼NB(r,p)だからVar(Y)=p2r(1−p)
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